zad. Ostrosłup prawidłowy trójkątny to znaczy że w podstawie mamy trójkąt równoboczny. z zadania wiemy że jego wysokość wynosi 2 pierwiastek 3. Zeby obliczyć bok tego trójkąta równobocznego , a będzie ta długość nam potrzebna do obliczenia pola podstawy, wykorzystujemy wzór na wysokość trójkąta równobocznego, co zapisujemy:
(a pierwiastek 3) : 2 = 2 pierwiastek 3 Pozbywamy się z mianownika 2, więc mnożymy przez 2 i otrzymujemy a pierwiastek 3 = 4 pierwiastek 3 zatem samo a = 4 pierwiastek 3 : pierwiastek 3 = 4
Zatem długość boku podstawy wynosi 4 cm.
Możemy już obliczyć pole podstawy ze wzoru : P= (a^2*pierwiastek 3):4
Mamy: P= (4^2 * pierwiastek 3) :4 = 4 pierwiastki 3 cm^2
Możemy już obliczyć objętość ze wzoru V=(Pp *H):3 , gdzie H to wysokość tego ostrosłupa = 9cm więc V= (4 pierwiastki 3 cm^2 * 9 cm ) : 3 = 12 pierwiastki 3 cm ^3.
Pole całkowite to Pc = Pp + Pb (suma pól bocznych, a mamy trzy sciany boczne. Są to trzy trójkąty równoramienne, których pole obliczymy ze wzoru P = (a * h) : 2 , gdzie a to długość boku trójkąta równobocznego - tego z podstawy czyli 4 cm. Natomiast h musimy obliczyć wykorzystując Tw. Pitagorasa. Jedna przyprostokątna to H (wysokość ostrosłupa = 9cm) , druga przyprostokątna B to 1/3 wysokości trójkąta równobocznego, a przeciwprostokątna to wysokość ściany bocznej, czyli nasze szukane h.
B= 1/3 * H = (2 pierwiastek 3): 3 Podstawiamy do zależności wynikających z Pitagorasa. h^2 = H^2 + B^2
h^2 = 9^2 + (2 pierwiastek 3 : 3 )^2
h^2 = 81 + (4 *3): 9
h^2 = 81 + 4/3
h^2 = 247 /3
h = pierwiastek z 247/3 = pierwiastek z 247 : pierwiastek 3 , gdy usuniemy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez pierwiastek 3 otrzymujemy: h = pierwiastek z 741 / 3
Pb = (4 * pierwiastki 741/3) : 2 = 4 pierwiastki 741 / 3 * 1/2 = 4 pierwiastki 741 / 6 = 2 pierwiastki 741 / 3
Skoro są trzy ściany boczne suma Pb = 3* 2 pierwiastki 741/3 = 2pierwiastki 741.
Obliczamy pole całkowite: Pc = Pp + Pb (suma pól bocznych)
Pc = (4 pierwiastki 3 + 2 pierwiastki 741)cm^2
Wynik trochę dziwny ale mam nadzieję że nigdzie się nie pomyliłam. Może z tego pierwiastka 741 można jeszcze coś wyciągnąć przed znak pierwiastka, Szkoda że nie znam wyniku jaki powinien być..
zad. 2 ostrosłup prawidłowy czworokątny to znaczy że w podstawie jest kwadrat. Dane: d= 8 pierwiastek 2 to znaczy że długość boku kwadratu wynosi 8 ( a=8) bo d = a pierwiastki 2
H =8 Możemy już wyliczyć pole podstawy Pp = 8^2 = 64 cm^2 oraz liczymy objetość V = (Pp * H ) : 3 V = (64 * 8 ): 3 = 512 / 3 = 170 i 2/3 cm^3
Pc = Pp + Pb Pole boczne to trójkąt równoramienny P= (a*h) : 2
gdzie a to długość boku kwadratu czyli a =8cm natomiast h liczymy z Pitagorasa. Jedna przyprostokątna to H a druga to 1/2 boku kwadratu czyli B= 4 cm, Szukane h to przeciwprostokątna.
h^2 = 8^2 + 4 ^2
h^2 = 64+16
h= pierwiastek 80 = pierwiastek 16 *5 zatem:
h =4pierwiastek 5 cm
Liczymy teraz Pole boczne jednego trójkąta P= (8 * 4pierwiastek 5) :2 =16pierwiastek5 cm^2
Mamy cztery sciany boczne, więc Pb = 4 *16 piewiastek5= 64pierwiastek5 cm^2
Pc= 64 cm^2 + 64pierwistek5 cm^2, w takiej postaci zostawiamy
zad. 3 d=6pierwistek2 => a = 6 cm (dł. boku kwadratu)
H = 2* a = 2*6 cm = 12 cm
Liczymy pole podstawy Pp= 6^2 + 36 cm^2
Liczymy V = (36 cm^2 * 12 cm) : 3 = 144 cm^3
Zeby obliczyć pole boczne to tak jak w poprzednim zadaniu
h^2 = 12 ^2 + 3^2
h^2 = 144 + 9
h= pierwiastek 153 = pierwiastek 9 *17 = 3 pierwiastek 17
Liczymy pole boczne P= ( 6 * 3 pierwiastek 17) : 2 = 9 pierwiastek 17.
Mamy cztery takie pola zatem Pb= 4 * 9 pierwiastek 17 = 36 pierwiastek 17
Pc = 36 cm^2 + 36 pierwiastek 17 cm^2
zad. 4 V= ?
(a pierwiastek 3) : 2 = 3 pierwiastek 3 zatem pozbywamy się 2 z mianownika mnożąc całość przez dwa i otrzymujemy a pierwiastek 3 = 6 pierwiastek 3
zatem samo a = 6
Liczymy pole podstawy P= (6^2 pierwiastek 3) :4 = (36 pierwiastek 3) : 4 = 9 pierwiastek 3
Liczymy objętość V = 9 pierwiastek 3 cm^2 * 7 cm = 63 pierwiastek 3 cm^3
zad. 5 W podstawie kwadrat
Skoro długość a=5 to d = 5 pierwiastek 2
H wyliczymy z Pitagorasa, mamy trójkąt 90 , 30 i 60 stopni.
H to krótka przyprostokatna a B - dłuższa przyprostokątna a pierwiastek 3 to połowa przekątnej kwadratu , krawędź boczna to przeciwprostokątna = 2*krótka przyprostokątna
Dłuższa przyprostokątna to H pierwiastek 3 a to = 1/2 d zatem
H pierwiastek 3 = 2,5 pierwiastek 2
H= 2,5 pierwiastek 2 : pierwiastek 3 usuwamy niewymierność
H = 2,5 pierwiastek 6 / 3
Pole podstawy to P= 5^2 = 25
V = 25 cm^2 * (2,5 pierwiastek 6):3 * 1/3 = 62,5 pierwiastek3 cm^3
zad. 6 w tym zadaniu mamy w podstawie trójkąt równoboczny
Wysokość ostrosłupa H=8 i jest to dłuższa przyprostokątna zatem a pierwiastek 3=8 więc samo
a=( 8 pierwiastek 3 ): 3 (długość krótszej przyprostokątnej = 2/3 h trójkąta w podstawie)
Zeby obliczyć pole podstawy muszę znać długość boku trójkąta w podstawie
obliczam go ze wzoru na wysokość h= (a pierwiastek 3): 2
Skoro 2/3 h = (8 pierwiastek 3) / 3 to:
h= (8 pierwiastek 3) / 3 + (4 pierwiastek 3) / 3 = 12 pierwiastek 3 / 3 =
4 pierwiastek 3
liczę długość boku ze wzoru na wysokość:
(a pierwiastek 3) : 2 = 4 pierwiastek 3, więc
a = 4 pierwiastek 3 : pierwiastek 3 = 4 cm
Liczę pole Pp= (4^2 *pierwiastek 3 ) :4 =4 pierwiastek 3
V = (4 pierwiastek 3) * 8) : 3 = 32 pierwiastek 3 / 3 cm ^3 = 10 i 2/3 cm^3
