1. Dane są punkty A (35,15) I B(60,20) . Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostej AB z osią Oy 2. Średnia arytmetyczna dwóch liczb wynosi 20. Jeśli jedną z nich zwiększymy dwukrotnie, a drugą zmniejszymy o 50%, to średnia arytmetyczna zwiększy się

Zad 1) Tworzymy funkcję liniową przechodzącą przez punkty A(35,15) oraz B(60,20) y = ax+b Dla punktu A: 15 = 35a + b Dla punktu B: 20 = 60a + b Wyciągamy z dowolnego równania b i podstawiamy do drugiego: b = 15 - 35a 20 = 60a + 15 - 35a b = 15 - 35a 5 = 25a [latex]a = frac{1}{5}[/latex] [latex]b = 15 - 7 = 8[/latex] Zatem nasza funkcja ma postać [latex]y = frac{1}{5}x + 8[/latex]. Teraz punkt przecięcia z osią OY jest, gdy x = 0, więc jest to punk C = (0,8). Zad 2) [latex]frac{x + y}{2} = 20[/latex] [latex]frac{2x + frac{1}{2}y}{2} = 22[/latex] Liczymy z pierwszego x + y = 40 oraz z drugiego [latex]2x + frac{1}{2}y = 44[/latex] Wyciągamy x i mamy x = 40 - y i podstawiamy 80 - 2y + [latex]frac{1}{2}y[/latex] = 44. [latex]-frac{3}{2}y = -36[/latex] 3y = 72 y = 24 Czyli x = 16 Zad 3) Przekątna ściany bocznej to [latex]a^{2} + H^{2}[/latex]. Skoro podstawą jest trójkąt prawidłowy to podstawa bryły jest równa [latex]P_{p} = frac{a^{2}sqrt{3}}{4}. Jego objętość natomiast wynosi [latex]V = P_{p} * H[/latex]. Wiemy, że przekątna jest pod kątem 45 stopni, więc wysokość będzie równa odcinkowi podstawy, zatem [latex]V = P_{p} * a = frac{a^{3}sqrt{3}}{4}[/latex] Przyrównując otrzymamy [latex]2sqrt{2} = frac{a^{3}sqrt{3}}{4}[/latex], czyli [latex]a^{3} = 8 => a = 2[/latex]. Zad 4) Mamy podane [latex]a_{1} = -8, r = 2[/latex] Mamy wyznaczyć [latex]a_{k+1}, a_{k+3}, 2a_{k+4}[/latex] by był geometrycznym, czyli stosujemy zasadę [latex]a_{k+3}^{2} = a_{k+1} * 2a*{k+4}[/latex] Możemy też sprowadzić do podstaw wyższe wyrazy, tj. [latex]a_{k+3} = a_{k+1} * q^{2}[/latex] oraz [latex]a_{k+4} = a_{k+1} * q^{3}[/latex] Podstawiamy to wszystko i mamy, że [latex]a_{k+1} * q^{2} = a_{k+1}^{2} * q^{3} * 2[/latex] Skracamy wyraz oraz różnicę geometryczną i mamy, że: [latex]1 = 2q[/latex] [latex]q = frac{1}{2}[/latex] Wystarczy tylko teraz podstawić i otrzymamy wynik.