Wykazać, że najmniejsza odległość między przedmiotem i jego rzeczywistym obrazem w soczewce zbierającej wynosi 4f, gdzie f jest ogniskową soczewki.?

Z równania soczewki obliczmy odległość obrazu od soczewki: 1/x + 1/y = 1/f 1/y = 1/f - 1/x = (x - f)/(f·x) y = f·x/(x - f)        Oczywiście aby obraz był rzeczywisty konieczne jest x > f Odległość między przedmiotem i obrazem: L = x + y = x + f·x/(x - f) = (x² - f·x + f·x)/(x - f) = x²/(x - f) Ekstrema funkcji L(x) wyznaczamy dla dL/dx = 0 dL/dx = (2·x·(x - f) - x²)/(x - f)² = (x² - 2·f·x)/(x - f)² = 0 x² - 2·f·x = 0 x = 0 (minimum)       lub       x = 2·f (maksimum) Lmax = L(x = 2·f) = 4·f²/(2·f - f) = 4·f