1.
a)
[latex]a(n+1) = frac{n + 1 + 2}{2(n+1) + 3} = frac{n+3}{2n+5} [/latex]
[latex]\ a(n+1) - a(n) = \ \ = frac{n+3}{2n+5} - frac{n+2}{2n+3} = \ \ = frac{(n+3)(2n+3)}{(2n+5)(2n+3)} - frac{(n+2)(2n+5)}{(2n+3)(2n+5)} = \ \ = frac{(2n^{2} + 3n + 6n + 9)-(2n^{2}+5n+4n+10 )}{(2n+5)(2n+3)} = \ \ = frac{2n^{2} + 9n + 9 -2n^{2}-9n-10}{(2n+5)(2n+3)} = \ \ = frac{-1}{(2n+5)(2n+3)} [/latex]
No więc.. bez względu jakie n podamy, otrzymamy wynik ujemny. W dodatku im większe n tym mniejszy ułamek. Jest to ciąg rosnący.
b)
[latex]a(n+1) = (n+1)^{2} -(n+1) = n^{2} + 2n + 1 - n - 1 = n^{2} +n[/latex]
[latex] a(n+1) - a(n) = \ = n^{2} + n - (n^{2} - n) = \ = n^{2} + n - n^{2} + n = \ = 2n[/latex]
Im większe n tym wyższy wynik, ciąg rosnący.
2.
Żeby to sprawdzić, obliczmy pierwsze 4 wyrazy tego ciągu:
a1 = -1
a2 = -1/2
a3 = 0
a4 = 1/2
Jak najbardziej jest to ciąg arytmetyczny, jego różnica wynosi 1/2.
3.
a1,a2,a3 - boki trójkąta
r = 3
a2 = a1 + a3
a3 = a1 + 6
Korzystamy z twierdzenia pitagorasa, sprowadzamy do równania kwadratowego, znajdujemy a1:
[latex](a1)^{2} + (a2)^{2} = (a3)^{2} \ (a1)^{2} + (a1 + 3)^{2} = (a1 +6)^{2} \ (a1)^{2} + (a1)^{2} + 6(a1)+9 = (a1)^{2} + 12(a1)+36 \ (a1)^{2} - 6(a1) - 27 = 0 \ delta = 36 + 108 = 144 \ a1 = 9 [/latex]
a1 = 9
a2 = 12
a3 = 15
Obwód: 9 + 12 + 15 = 36
4.
a4 = 6
a8 = 14
a8 = a4 + 4r
14 = 6 + 4r
8 = 4r
r = 2
a1 = a4 - 3r
a1 = 6 - 6 = 0
a10 = a1 + 9r
a10 = 0 + 18
a10 = 18
Sn = (2a1 + (n-1)r)/2 * n <--- wzór na sumę n wyrazów
S10 = (18)/2 * 10
S10 = 90
5.
S4 = 60
q = 2
Wzór na sumę ciągu geometrycznego: Sn = a1 * (1-q^n) / (1 - q)
60 = a1 * (1-2^4 ) / (1-2)
60 = a1 * (-15) / (-1)
60 = 15a1
a1 = 4
