1. x² + 3x + y² - 10y + 27 = 0 x² + 2·³/₂·x + (³/2)² - ⁹/₄ + y² - 2·5y + 25 + 2 = 0 (x + ³/₂)² - 2¹/₄ +(y - 5)² + 2 = 0 (x + ³/₂)² + (y - 5)² = ¹/₄ Współrzędne środka okręgu: O(-³/₂;5) Promień: r = ¹/₂ 2. x² + y² - 10x + 4y + 29 = 0 x² - 10x + 25 + y² + 4y + 4 = 0 (x - 5)² + (y + 2)² = 0 O(5;-2) r=0 Równanie nie jest równaniem okręgu (bo promień musi być >0) 3. A = (-1,2) B = (6,-2) C = (3,4) Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia symetralnych boków tego trójkąta. Współczynnik kierunkowy odcinka AB: [latex] a_{AB}=frac{-2-2}{6+1}=-frac47[/latex] Symetralna odcinka jest do niego prostopadła, czyli współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka AB: [latex] a_{S_{AB}}=-frac1{a_{AB}}=frac{7}{4}[/latex] Stąd dowolna prosta prostopadła: [latex]y=frac{7}{4}x+b[/latex] środek odcinka AB: [latex] S_{AB}=(frac{6-1}2;frac{-2+2}2)=(frac{5}2;0)[/latex] Symetralna przechodzi przez środek odcinka stąd: [latex]0=frac{7}{4}cdotfrac{5}2+b\\ -b=frac{35}{8}\\ b=-frac{35}{8}[/latex] Równanie symetralnej boku AB: [latex]y=frac{7}{4}x-frac{35}{8}[/latex] Współczynnik kierunkowy odcinka BC: [latex]a_{BC}=frac{4+2}{3-6}=-frac63=-2 [/latex] Współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka BC: [latex] a_{S_{BC}}=-frac1{a_{BC}}=frac{1}{2}[/latex] Stąd: [latex]y=frac{1}{2}x+b[/latex] środek odcinka BC: [latex] S_{BC}=(frac{6+3}2;frac{-2+4}2)=(frac{9}2;1)[/latex] Symetralna przechodzi przez środek odcinka stąd: [latex]1=frac{1}{2}cdotfrac{9}2+b\\ -b=frac{9}{4}-1\\ b=-frac{5}{4}[/latex] Równanie symetralnej boku AB: [latex]y=frac{1}{2}x-frac{5}{4}[/latex] Punkt przecięcia symetralnych: [latex] left { {ig{y=frac{7}{4}x-frac{35}{8}quad/:(-1)} atopig {y=frac{1}{2}x-frac{5}{4}qquadqquad} ight.\\ underline{left { {ig{-y=-frac{7}{4}x+frac{35}{8}} atopig {y=frac{1}{2}x-frac{5}{4}}} ight.}\~quad 0=-frac{7}{4}x+frac{1}{2}x+frac{35}{8}-frac{5}{4}\~quad 0=-frac{7}{4}x+frac{2}{4}x+frac{35}{8}-frac{10}{8} \~quad 0=-frac{5}{4}x+frac{25}{8}\~quad frac{5}{4}x=frac{25}{8}qquad/cdotfrac45\~quad x=frac{5}{2}\\ y=frac{7}{4}cdotfrac52-frac{35}{8}\y=0[/latex] Czyli środek okręgu: O(5/2;0) Promień okręgu: [latex]r=|AO|=sqrt{(frac52+1)^2+(0-2)^2}=sqrt{(frac{49}4+4}=sqrt{frac{65}4}[/latex] Równanie okręgu: [latex](x-frac52)^2+y^2=frac{65}4 [/latex]
