(dwa zadania - wielomiany) 1. Rozwiąż równanie. Podaj krotność każdego pierwiastka: a) [latex] x^{3} -4 x^{2} +4x=0[/latex] b) [latex]8 x^{6} -15 x^{3} =2 x^{4} [/latex] c) [latex] frac{1}{4} x^{6} =9 x^{2} [/latex] 2. Rozwiąż równanie. a) [latex]

1) a) x³-4x²+4x=0 x(x²-4x+4)=0 x(x-2)(x-2) = 0 x=0 ∨ x=2 ∨ x=2 0 - pierwiastek jednokrotny 2 - pierwiastek dwukrotny b) 8x⁶-2x⁴ + 15x³ = 0 x³(8x³-2x + 15) = 0 0-pierwiastek trzykrotny Skupmy się teraz wyrazeniu pod nawiasem: 8x³-2x+15 = 0 c) Przemnóżmy od razu przez 4: x⁶-36x²=9 x²(x⁴-36) =0 x²(x²-6)(x²+6) =0 x²(x-√6)(x+√6)(x²+6) = 0 Delta ostatniego wyrazenia jest ujemna. x=0 - pierwiastek dwukrotny x=√6 - pierwiastek jednokrotny x=-√6 - pierwiastek jednokrotny Zad2) a) x³-5x² + 2x - 10 = 0 x²(x-5) + 2(x-5) = 0 (x²+2)(x-5) = 0 Delta pierwszego wyrazenia jest ujemna. x=5 ( pierwiastek jednokrotny) b) Też od razu razy 4. 8x⁵+x² -24x³ - 3 = 0 x³(8x²- 24) + (x² - 3) = 0 8x³(x²-3) + 1(x²-3) = 0 (x²-3)[(2x)³ + 1] = 0 (x-√3)(x+√3)(2x + 1)(4x² - 2x + 1) = 0 Delta ostatniego wyrazenia jest ujemna, w zwiazku z czym: x=√3 ∨ x=-√3 ∨ x= - ¹/₂ Wszystkie pierwiastki są jednokrotne. c) x⁶-4x⁴+3x²-12 = 0 x⁴(x²-4) + 3(x²-4) = 0 (x²-4)(x⁴+3) = 0 (x-2)(x+2)(x⁴+3) = 0 x=2 lub x=-2   ( ostatni nie ma miejsca zerowego ) Pierwiastki są jednokrotne. d) x⁵ - 2x⁴ + 2x³ - 4x² + x - 2 = 0 x⁴(x-2) + 2x²(x-2) +1(x-2) = 0 (x-2)[x⁴+2x²+1] = 0 (x-2)[(x²)² + 2(x²) + 1] = 0 (x-2)(x²+1)² = 0 Delta drugiego wyrazenia jest ujemna, w zwiazku z czym jedynym pierwiastkiem: x=2 ( jednokrotny)