Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych w zasadzie działa tak samo jak skracanie i rozszerzanie ułamków.
Najistotniejszą różnicę stanowi konieczność określenia dziedziny wyrażenia wymiernego (podania założeń, dla których wyrażenie ma sens), przed wykonaniem jakichkolwiek działań.
Rozszerzając ułamek mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę
Np.:
[latex]frac34=frac{3cdot25}{4cdot25}=frac{75}{100}\\frac59=frac{3cdot5}{3cdot9}=frac{15}{27}[/latex]
Podobnie postępujemy z wyrażeniami wymiernymi, pamiętając o założeniach, bo NIE WOLNO dzielić przez 0.
Czyli wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.
np.:
[latex]frac{2x}{x+1}=frac{2xcdot2}{(x+1)cdot2}=frac{4x}{2x+2}qquadqquadqquad D: x+1
ot=0 Rightarrow x
ot=-1\\frac{2x+1}{3x}=frac{(2x+1)cdot5}{3xcdot5}=frac{10x+5}{15x}qquadqquadqquadqquad D: x
ot=0[/latex]
Jeżeli rozszerzamy wyrażenie wymierne przez wyrażenie z niewiadomą, to do dziedziny musimy jeszcze dopisać założenie dotyczące tej niewiadomej.
Np.:
[latex]frac{8x}{x+1}=frac{8xcdot2b}{(x+1)cdot2b}=frac{16bx}{2bx+2b}qquadqquadqquad D: x
ot=-1; b
ot=0\\frac{2a}{3x}=frac{2acdot(y-5)}{3xcdot(y-5)}=frac{2ay-10a}{3xy-15x}quadqquadqquad D: x
ot=0; y-5
ot=0 Rightarrow y
ot=5[/latex]
W twoim zadaniu: zamiast 3x po rozszerzeniu mamy 6x²
6x² = 3x·2x
Czyli rozszerzamy mnożąc przez 2x
ponieważ w mianowniku mamy 2y, stąd D: 2y≠0, czyli y≠0,
a po rozszerzeniu dodatkowo w mianowniku pojawi się 2x, więc: x≠0
[latex]old{dfrac{3x}{2y}=dfrac{3xcdot2x}{2ycdot2x}=dfrac{6x^2}{4xy}qquadqquadqquadqquad D: y
ot=0 , x
ot=0}[/latex]
Skracając ułamek sprawdzamy czy licznik i mianownik zawierają te same czynniki, jeżeli tak to skracamy te wspólne czynniki.
Np.:
[latex]frac{15}{20}=frac{3cdot
ot5}{4cdot
ot5}=frac34\\frac{54}{81}=frac{
ot9cdot6}{
ot9cdot9}=frac69=frac{2cdot
ot3}{
ot3cdot3}[/latex]
Podobnie postępujemy przy skracaniu wyrażeń wymiernych, pamiętając o zapisaniu założeń.
Np.:
[latex]frac{8x+8}{x^2-1}=frac{8(x+1)}{(x+1)(x-1)}=frac{8}{x-1}qquadqquadqquad D: x
ot=-1, x
ot=1\\frac{6xy}{3x^2+15x}=frac{3xcdot2y}{3xcdot(x+5)}=frac{2y}{x+5}qquadqquadqquad D: x
ot=0, x
ot=-5[/latex]
