Jedno zadanie z załącznika;)

Mamy macierz: [latex]A= left[egin{array}{cc}1&-1\-1&2end{array} ight] [/latex] 1. Szukając wartości własnych przyrównujemy do zera wyznacznik (wielomian charakterystyczny): [latex]left|egin{array}{cc}1-lambda&-1\-1&2-lambdaend{array} ight|=0\\\(1-lambda)(2-lambda)-(-1)cdot(-1)=0\\2-lambda-2lambda+lambda^2-1=0\\lambda^2-3lambda+1=0\\\Delta=(-3)^2-4=9-4=5\\oxed{lambda_1=dfrac{3-sqrt{5}}{2}qquadqquadlambda_2=dfrac{3+sqrt{5}}{2}} [/latex] Mamy wartości własne, więc możemy wyznaczyć odpowiadające im wektory własne. Zacznijmy od λ₁. [latex]left[egin{array}{cc}1-lambda_1&-1\-1&2-lambda_1end{array} ight]left[egin{array}{c}v_1\v_2end{array} ight]=0\\\ left[egin{array}{cc}1-frac{3-sqrt{5}}{2}&-1\-1&2-frac{3-sqrt{5}}{2}end{array} ight]left[egin{array}{c}v_1\v_2end{array} ight]=0\\\ left[egin{array}{cc}frac{-1+sqrt{5}}{2}&-1\-1&frac{1+sqrt{5}}{2}end{array} ight]left[egin{array}{c}v_1\v_2end{array} ight]=0\\\[/latex] [latex]egin{cases}dfrac{-1+sqrt{5}}{2}v_1-v_2=0\\-v_1+dfrac{1+sqrt{5}}{2}v_2=0quadBig|cdotdfrac{1-sqrt{5}}{2}end{cases}\\\ egin{cases}dfrac{-1+sqrt{5}}{2}v_1-v_2=0\\-dfrac{1-sqrt{5}}{2}v_1+dfrac{1+sqrt{5}}{2}cdotdfrac{1-sqrt{5}}{2}v_2=0end{cases}\\\ egin{cases}dfrac{-1+sqrt{5}}{2}v_1-v_2=0\\dfrac{-1+sqrt{5}}{2}v_1+dfrac{1^2-sqrt{5}^2}{4}v_2=0end{cases}\\\ egin{cases}dfrac{-1+sqrt{5}}{2}v_1-v_2=0\\dfrac{-1+sqrt{5}}{2}v_1-v_2=0end{cases}\\\ [/latex] [latex]v_2=dfrac{-1+sqrt{5}}{2}v_1quadimpliesquadoxed{v=left[1,frac{-1+sqrt{5}}{2} ight]}[/latex] Dla wartości własnej λ₂ otrzymamy: [latex]left[egin{array}{cc}1-lambda_2&-1\-1&2-lambda_2end{array} ight]left[egin{array}{c}u_1\u_2end{array} ight]=0\\\ left[egin{array}{cc}1-frac{3+sqrt{5}}{2}&-1\-1&2-frac{3+sqrt{5}}{2}end{array} ight]left[egin{array}{c}u_1\u_2end{array} ight]=0\\\ left[egin{array}{cc}frac{-1-sqrt{5}}{2}&-1\-1&frac{1-sqrt{5}}{2}end{array} ight]left[egin{array}{c}u_1\u_2end{array} ight]=0\\\[/latex] [latex]egin{cases}dfrac{-1-sqrt{5}}{2}u_1-u_2=0\\-u_1+dfrac{1-sqrt{5}}{2}v_2=0quadBig|cdotdfrac{1+sqrt{5}}{2}end{cases}\\\ egin{cases}dfrac{-1-sqrt{5}}{2}u_1-u_2=0\\-dfrac{1+sqrt{5}}{2}u_1+dfrac{1-sqrt{5}}{2}cdotdfrac{1+sqrt{5}}{2}u_2=0end{cases}\\\ egin{cases}dfrac{-1-sqrt{5}}{2}u_1-u_2=0\\dfrac{-1-sqrt{5}}{2}u_1+dfrac{1^2-sqrt{5}^2}{4}u_2=0end{cases}\\\ egin{cases}dfrac{-1-sqrt{5}}{2}u_1-u_2=0\\dfrac{-1-sqrt{5}}{2}u_1-u_2=0end{cases}\\\ [/latex] [latex]u_2=dfrac{-1-sqrt{5}}{2}u_1quadimpliesquadoxed{u=left[1,frac{-1-sqrt{5}}{2} ight]}[/latex] 2. Teoretycznie można tu od razu skorzystać z twierdzeń: a) Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne. b) Jeżeli dodatkowo wyjściowa macierz jest symetryczna (a nasza jest , bo A₁₂ = A₂₁) to wektory te są ortogonalne (prostopadłe). Czyli odpowiedź na oba pytania brzmi: tak, są. Ale jeśli ktoś bardzo chce, to może to sprawdzić. Dla sprawdzenia liniowej niezależności wybierzmy dowolne liczby rzeczywiste α oraz β i sprawdźmy kiedy: [latex]alpha v+eta u=0\\ alphaleft[egin{array}{cc}1\frac{-1+sqrt{5}}{2}end{array} ight]+etaleft[egin{array}{cc}1\frac{-1-sqrt{5}}{2}end{array} ight]=0\\\ egin{cases}alpha+eta=0\\dfrac{-1+sqrt{5}}{2}alpha+dfrac{-1-sqrt{5}}{2}eta=0end{cases}\\\ egin{cases}alpha=-eta\\dfrac{-1+sqrt{5}}{2}cdot(-eta)+dfrac{-1-sqrt{5}}{2}eta=0end{cases}\\\ egin{cases}alpha=-eta\\dfrac{1-sqrt{5}-1-sqrt{5}}{2}eta=0end{cases}\\\[/latex] [latex]egin{cases}alpha=-eta\\-sqrt{5}eta=0end{cases}quadimpliesquadeta=0quadimpliesquadalpha=-eta=0[/latex] Pokazaliśmy więc, że kombinacja liniowa wektorów własnych jest wektorem zerowym tylko w przypadku, gdy zarówno α jak i β są równe zero. Stąd wektory własne są liniowo niezależne. Dla sprawdzenia prostopadłości wystarczy policzyć iloczyn skalarny v i u. Mamy: [latex]vcdot u=left[1,dfrac{-1+sqrt{5}}{2} ight]cdotleft[1,dfrac{-1-sqrt{5}}{2} ight]= 1cdot1+dfrac{-1+sqrt{5}}{2}cdotdfrac{-1-sqrt{5}}{2}=\\\=1+dfrac{(-1)^2-sqrt{5}^2}{4}=1+dfrac{-4}{4}=1-1=0[/latex] Iloczyn skalarny jest równy zero, więc wektory u i v są prostopadłe.

Pomóżcie jeszcze zrobić jedno zadanie z załącznika, plisss Trzeba wpisać związek frazeologiczny i wyjaśnić dlaczego tak a nie inaczej (tylko przykład B)

Pomóżcie jeszcze zrobić jedno zadanie z załącznika, plisss Trzeba wpisać związek frazeologiczny i wyjaśnić dlaczego tak a nie inaczej (tylko przykład B)...

Jedno zadanie z załącznika proszę! :-(

Jedno zadanie z załącznika proszę! :-(...

Pilne!!! Proszę o pomoc! Jedno zadanie z załącznika :) Potrzebuję szczegółową rozpiskę z obliczeniami .Z góry dzięki :) Daję naj :)

Pilne!!! Proszę o pomoc! Jedno zadanie z załącznika :) Potrzebuję szczegółową rozpiskę z obliczeniami .Z góry dzięki :) Daję naj :)...

Jedno zadanie z załącznika ; )

Jedno zadanie z załącznika ; )...

Kto mi pomoże to jedno zadanie z załącznika? Dostanie naj i punkty. 

Kto mi pomoże to jedno zadanie z załącznika? Dostanie naj i punkty. ...