1.
a) [latex]cos x=-frac12\cos x=cos (pi-fracpi3)\ cos x=cos(frac23pi)\ x=pm:frac23pi+2kpi[/latex]
b) [latex]sin x=frac{sqrt3}2\ sin x=sinfracpi3\ x=fracpi3+2kpilor x=frac23pi+2kpi[/latex]
2. Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, zatem prosta równoległa do danej prostej ma wzór: [latex]y=-2x+b[/latex], gdzie b jest wyrazem wolnym. Obliczam b podstawiając współrzędne danego punktu, przez który ma przechodzić prosta:
[latex]3=-2*(-2)+b\b=-1[/latex]. Zatem równanie prostej równoległej przechodzącej przez punkt A(-2,3) to [latex]y=-2x-1[/latex]
Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1:
[latex]a_2*(-2)=-1\a_2=frac12[/latex]
Zatem równanie prostej prostopadłej do danej prostej to:
[latex]y=frac12x+b[/latex]
Ponownie podstawiam współrzędne punktu:
[latex]3=frac12*(-2)+b\b=4[/latex]
Stąd równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt to [latex]y=frac12x+4[/latex].
Rysunki w załączniku. Czerwona prosta - [latex]y=-2x+3[/latex], niebieska prosta - [latex]y=-2x-1[/latex], zielona prosta - [latex]y=frac12x+4[/latex]
3. Odległość punktu [latex]P(x_0,y_0)[/latex] od prostej [latex]ax+by+c=0[/latex] wyraża się wzorem:
[latex]frac{|a*x_0+b*y_0+c|}{ sqrt{a^2+b^2} }[/latex]
Przekształcam równanie danej prostej:
[latex]y=2x-5//-y\ 2x-y-5=0[/latex]
Podstawiam do podanego wyżej wzoru:
[latex]frac{|2*2+(-1)*(-3)-5|}{ sqrt{2^2+(-1)^2} }=frac{2}{sqrt5}=frac{2sqrt5}{5}[/latex]
Stąd odległość danego punktu od danej prostej wynosi [latex]frac{2sqrt5}{5}[/latex].
4. Z definicji ciągu arytmetycznego: [latex]a_5=a_1+4r\ a_8=a_1+7r[/latex]
Podstawiam dane wartości i rozwiązuje układ równań dowolną metodą (ja robię to metodą przeciwnych współczynników):
[latex] left { {{a_1+4r=9} atop {a_1+7r=15}}
ight. \ left { {{-a_1-4r=-9} atop {a_1+7r=15}}
ight. \\ 3r=6\r=2\ a_1=9-8=1\\ left { {{r=2} atop {a_1=1}}
ight. [/latex]
Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego: [latex]S_n=frac{a_1+a_n}2*n[/latex]
Liczę [latex]a_{20}[/latex]:
[latex]a_{20}=a_1+19r=1+19*2=39[/latex]
Podstawiam do wzoru na sumę:
[latex]S_{20}=frac{1+39}{2}*20=20*20=400[/latex]
Wzór ogólny n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: [latex]a_n=a_1+(n-1)r[/latex]
Podstawiam:
[latex]a_n=1+(n-1)*2=1+2n-2=2n-1[/latex]
Zatem [latex]a_1=1[/latex], [latex]r=2[/latex], [latex]S_{20}=400[/latex], [latex]a_n=2n-1[/latex].
5. Zakładam, że wzór ciągu, który podałaś to [latex]a_n=frac{2}{n}+frac{3}{n}+2[/latex]
Liczę [latex]a_{n+1}[/latex]:
[latex]a_{n+1}=frac{2}{n+1}+frac{3}{n+1}+2=frac{5}{n+1}+2[/latex]
Liczę różnicę między [latex]a_{n+1}[/latex] i [latex]a_{n}[/latex]:
[latex]a_{n+1}-a_n=frac{5}{n+1}+2-(frac{2}{n}+frac{3}{n}+2)=frac{5}{n+1}+2-frac{5}{n}-2=frac{5}{n+1}-frac{5}n=\\=frac{5n-5(n+1)}{n(n+1)}=frac{5n-5n-5}{n(n+1)}=frac{-5}{n(n+1)}[/latex]
Po maksymalnym uproszczeniu wciąż mamy zmienną w wyrażeniu, zatem ciąg jest niemonotoniczny.
