Bardzo proszę o pomoc w obliczeniu tego szeregu krok po kroku bo nie wiem jak się za niego zabrać.

Jest to suma zbieżnego ciągu geometrycznego od 4. wyrazu do nieskończoności, co jest równe różnicy sumy całego ciągu (od 1. wyrazu do nieskończoności) i sumy trzech pierwszych wyrazów. [latex]underset{n=4}{overset{infty}{Sigma}}5 cdot (frac{3}{7})^n = underset{n=1}{overset{infty}{Sigma}}5 cdot (frac{3}{7})^n - underset{n=1}{overset{3}{Sigma}}5 cdot (frac{3}{7})^n[/latex] Zamieńmy wzór na postać a₁·qⁿ⁻¹. [latex]5 cdot (frac{3}{7})^n = 5 cdot frac{3}{7} cdot (frac{3}{7})^{n-1} = frac{15}{7} cdot (frac{3}{7})^{n-1} \ Downarrow \ a_1= frac{15}{7} \ q=frac{3}{7}[/latex] Sumę wszystkich wyrazów ciągu liczymy ze wzoru na sumę zbieżnego ciągu geometrycznego. [latex]underset{n=1}{overset{infty}{Sigma}}5 cdot (frac{3}{7})^n = frac{a_1}{1-q} = frac{frac{15}{7}}{1-frac{3}{7}}= frac{frac{15}{7}}{frac{4}{7}} = frac{15}{7} cdot frac{7}{4} = frac{15}{4}[/latex] Sumę trzech pierwszych wyrazów liczymy ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego. [latex] underset{n=1}{overset{3}{Sigma}}5 cdot (frac{3}{7})^n = a_1 cdot frac{1-q^n}{1-q} = frac{15}{7} cdot frac{1-(frac{3}{7})^3}{1-frac{3}{7}}= frac{15}{7} cdot frac{1-frac{27}{343}}{frac{4}{7}}= frac{15}{7} cdot frac{frac{316}{343}}{frac{4}{7}}= \ \ frac{15}{7} cdot frac{316}{343} cdot frac{7}{4} = frac{4740}{1372}[/latex] Różnica: [latex]underset{n=4}{overset{infty}{Sigma}}5 cdot (frac{3}{7})^n =frac{15}{4} - frac{4740}{1372}= frac{5145}{1372} - frac{4740}{1372} = oxed{ frac{405}{1372}}[/latex]