GRANICA [latex]$ lim_{n o infty} frac{1cdot1!+2cdot2!+3cdot3!+...+ncdot n!}{(n+1)!} $[/latex]

Hmm, tutaj głównie problem polegał będzie na "lepszym", może "zgrabniejszym" przedstawieniu licznika, spróbujmy co wyjdzie: [latex]sum_{k=1}^n kk! [/latex] [latex]sum_{k=1}^n [(k+1)-1]k![/latex] [latex]sum_{k=1}^n (k+1)k!-k![/latex] [latex]sum_{k=1}^n (k+1)!-k![/latex] Z tego już łatwo wynika, że: [latex]sum_{k=1}^n (k+1)!-k! = (n+1)! - 1![/latex] Zatem: [latex]sum_{k=1}^n kk! = (n+1)! - 1[/latex] Podstawmy do granicy: [latex] lim_{n o infty} frac{(n+1)! - 1}{(n+1)!} = lim_{n o infty} frac{(n+1)!}{(n+1)!} - lim_{n o infty}frac{1}{(n+1)!} = 1 - 0 = 1[/latex]