Zad1) ( W zwiazku z zaistniałymi okolicznosciami edytuje )
[latex]f(x) = a^x[/latex]
Wiemy, że wykres funkcji przechodzi przez punkt [latex]A(3;sqrt{128}*sin(135^circ)) [/latex]
Czyli dla [latex]x=3[/latex], wartość funkcji [latex]f(x) = sqrt{128}*sin(135^circ)[/latex]
Podstawiamy:
[latex]sqrt{128}*sin(135^circ) = a^3[/latex]
[latex]a= sqrt[3]{sqrt{128}*sin(135^circ)} = sqrt[6]{128} * sqrt[3]{sin(135^circ)} = 2sqrt[6]{2} * sqrt[3]{sin(45^circ)}[/latex]
Zamienilem sin 135 stopni na sin 45 stopni ( z wzorów redukcyjnych to otrzymałem )
Teraz odczytujemy wartosc sinusa 45 stopni:
[latex]a = 2sqrt[6]{2} * sqrt[3]{sin(45^circ)} = 2sqrt[3]{sqrt{2}*frac{1}{sqrt{2}}} = 2sqrt[3]{1} = 2[/latex]
Teraz pozostaje f(-2), czyli w miejsce x "wrzucamy" -2:
[latex]f(-2) = 2^{-2} = (frac{1}{2})^2 = frac{1}{4}[/latex]
Zad2)
[latex]a_n = 3^{frac{1}{2}n+frac{1}{2}}[/latex]
Zeby obliczyć iloraz ciągu geometrycznego wyznaczę najpierw wyraz (n+1)
[latex]a_{n+1} = 3^{frac{1}{2}(n+1)+frac{1}{2}} = 3^{frac{1}{2}n +1}[/latex]
Iloraz ciagu geometrycznego to inaczej stosunek wyrazu nastepnego do wyrazu poprzedzajacego go, czyli w moim przypadku bedzie to stosunek wyrazu n+1, do wyrazu n :
[latex]q = frac{a_{n+1}}{a_n} = frac{3^{frac{1}{2}n +1}}{3^{frac{1}{2}n+frac{1}{2}}} = frac{3^{frac{n}{2}}*3^1}{3^{frac{n}{2}}*3^{frac{1}{2}}} = frac{3}{sqrt{3}} = sqrt{3}[/latex]
Zad3)
[latex]a_n = tg(n*30^circ) + (sqrt{3})^{n-1}[/latex]
Zeby obliczyc 4 wyraz tego ciągu, będziemy musieli (najprosciej mowiac) w miejsce n wstawić 4 :
[latex]a_4 = tg(4*30^circ) + (sqrt{3})^{4-1} = tg(120^circ) + (sqrt{3})^3 = -tg(60^circ) + 3sqrt{3}[/latex]
wartosc tg 60 stopni odczytujemy z tablic, albo z głowy ^^
mamy:
[latex]a_4 = 3sqrt{3} - tg(60^circ) = 3sqrt{3} - sqrt{3} = 2sqrt{3}[/latex]
