W celu rozwiązania zadania należy zasięgnąć wiedzy z zakresu teorii kinetycznej gazu doskonałego. Nie wiemy jednak z jaką prędkością dokładnie będzie poruszać się cząsteczka. Mamy tutaj bowiem do czynienia nie z prędkością jako realną wartością fizyczną, a jedynie jej prawdopodobieństwem. Dodatkowo nie mamy informacji na temat tego o jakiej cząsteczce jest mowa, bowiem powietrze składa się z cząsteczek różnych pierwiastków. Skoro więc mówimy o prawdopodobieństwie grzechem było by nie uciec się do niego i w tym przypadku. Proponuję zatem aby przyjąć dwie najbardziej prawdopodobne cząsteczki, na które natrafimy w powietrzu, reprezentujące pierwiastki azotu i tlenu. Należy się tutaj posiłkować równaniami Maxwella wynikającymi z Rozkładu Maxwella. 1) Pierwszym równaniem i zarazem pierwszą możliwą prawdopodobną prędkością będzie tzw. prędkość najbardziej prawdopodobna: [latex]v_p=sqrt{frac{2kT}{m}}[/latex] vp - prękość cząsteczki k - stała Boltzmana T - temperatura gazu m - masa cząsteczki 2) Drugim prawdopodobieństwem będzie zastosowanie tzw. prędkości średniej która określi nam przeciętną prędkość naszej cząsteczki w układzie [latex]v_p=sqrt{frac{8kT}{pi m}}[/latex] Możemy zatem przyjąć pewne prawdopodobieństwo czasowe dotarcia cząsteczki do celu w pewnych przedziałach czasowych wynikających z ww. prawdopodobnych prędkości cząsteczki. Żeby przystąpić do obliczeń musimy skompletować jeszcze niezbędne dane, zarówno stałe jak i te podane nam w treści zadania: [latex]T=23^oC=23+273 K=296 K\ k=1,38*10^{-23} frac{J}{K}\ m_{O_2}=16u\ m_{N}=14u\[/latex] Tutaj warto znowu zatrzymać się na moment w celu wyeliminowania zbędnych działań. Jak można zauważyć wyżej cząsteczka tlenu jest cięższa od cząsteczki azotu, co za tym idzie każda jej prędkość będzie zawsze mniejsza. Warto również zastanowić się która z tych prędkości będzie zawsze większa. Znając pełną teorię Rozkładu Maxwella wiadomym jest, że prędkość średnia jest większa niż prędkość najbardziej prawdopodobna. Tutaj natomiast możemy sobie to zobrazować posługując się najprostszymi działaniami matematycznymi, zwyczajnie przyrównując je do siebie: [latex]sqrt{frac{2kT}{m}}=sqrt{frac{8kT}{pi m}} | ^2\\ frac{2kT}{m}=frac{8kT}{pi m}\\ 2 extless frac{8}{pi}[/latex] Widzimy więc, że to co powiedziałem trzyma się prawdy. Możemy zatem znowu zaoszczędzić sobie kłopotu i obliczając tylko prędkość średnią dla azotu jako bardziej prawdopodobną oraz prędkość najbardziej prawdopodobną dla tlenu jako mniej prawdopodobną. 1) Prędkość dla tlenu [latex]m_{O_2}=16u=16*1,66*10^{-27}kg=26,56*10^{-27} kg\\ v_{O_2}=sqrt{frac{2k T}{m}}=sqrt{frac{2*1,38*10^{-23}*296}{26,56*10^{-27}}}=sqrt{frac{816,96*10^{-23}}{26,56*10^{-27}}}=sqrt{30,76*10^4}\\ v_N=5,55*10^2frac{m}{s}=555frac{m}{s}[/latex] 2)Prędkośc dla azotu [latex]m_{N}=14u=14*1,66*10^{-27}kg=23,24*10^{-27} kg\\ v_{N}=sqrt{frac{8k T}{pi m}}=sqrt{frac{8*1,38*10^{-23}*296}{pi 23,24*10^{-27}}}=sqrt{frac{3267,84*10^{-23}}{23,24*10^{-27}}}=sqrt{140,61*10^4}\\ v_N=11,86*10^2frac{m}{s}=1186frac{m}{s}[/latex] Z kolei jeśli mowa o czasach to: [latex]v=frac{s}{t}Rightarrow t=frac{s}{v}\\ t_N=frac{4}{1186}=3,37*10^{-3}s=3,37ms\\ t_{O_2}=frac{4}{555}=7,2*10^{-3}s=7,2ms[/latex] Przyjmujemy zatem, że największe prawdopodobieństwo w jakim czasie cząsteczka powietrza przemieści się w naszym pokoju mieści się między 3,37 ms a 7,2 ms. Pozdrawiam, Adam
