[latex]a_1,a_2,...,a_k extgreater 0[/latex] [latex] lim_{n o infty} (frac{sqrt[n]{a_1} + sqrt[n]{a_2} + ... + sqrt[n]{a_k} }{k})^n[/latex] Podstawmy [latex]m=frac{1}{n}[/latex], wówczas, mamy: [latex]n o infty iff m o 0[/latex] Zatem granica przedstawia się w postaci: [latex]lim_{m o 0} (frac{sqrt[frac{1}{m}]{a_1} + sqrt[frac{1}{m}]{a_2} + ... + sqrt[frac{1}{m}]{a_k} }{k})^frac{1}{m}[/latex] czyli: [latex]lim_{m o 0} sqrt[m]{(frac{{a_1}^m + {a_2}^m + ... + {a_k}^m }{k})}[/latex] Wyrażenie w granicy jest średnią potęgową rzędu m. Jesli m zmierza do 0, to wyrazenie zmierza do sredniej potegowej rzedu 0, czyli sredniej geometrycznej, w zwiazku z czym: [latex]lim_{m o 0} sqrt[m]{(frac{{a_1}^m + {a_2}^m + ... + {a_k}^m }{k})} = sqrt[k]{a_1*a_2*...*a_k}[/latex] Wiec: [latex] lim_{n o infty} (frac{sqrt[n]{a_1} + sqrt[n]{a_2} + ... + sqrt[n]{a_k} }{k})^n = sqrt[k]{a_1*a_2*...*a_k}[/latex]
