1) Napisać macierz układu:
[latex]A = left[egin{array}{ccc}3&-1&3\1&2a&0\2&-4&-1end{array}
ight][/latex]
2) Policzyć wyznacznik macierzy A i sprawdzić, kiedy jest on różny od 0.
[latex]det(A)=-18a-13[/latex]
[latex]det(A)
eq0Leftrightarrow{a}
eq-cfrac{13}{18}[/latex]
3) Dla takich liczb a, dla których wyznacznik macierzy jest różny od 0 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
4) Napisać trzy macierze zmiennych (zastępujemy odpowiednie kolumny, kolumną wyrazów wolnych):
[latex]A_x=left[egin{array}{ccc}1&-1&3\2a&2a&0\2&-4&-1end{array}
ight][/latex]
[latex]A_y=left[egin{array}{ccc}3&1&3\1&2a&0\2&2&-1end{array}
ight][/latex]
[latex]A_z=left[egin{array}{ccc}3&-1&1\1&2a&2a\2&-4&2end{array}
ight][/latex]
5) Wyznaczyć rozwiązania dla [latex]a
eq-cfrac{13}{18}[/latex]:
[latex]x=cfrac{det(A_x)}{det(A)}[/latex]
[latex]y=cfrac{det(A_y)}{det(A)}[/latex]
[latex]z=cfrac{det(A_z)}{det(A)}[/latex]
6) Sprawdzić liczbę rozwiązań układu dla [latex]a=-cfrac{13}{18}[/latex]:
[latex]rank(A)=rankleft[egin{array}{ccc}3&-1&3\1&-cfrac{13}{9}&0\2&-4&-1end{array}
ight]=[/latex]
[latex]
ank(Au)=
ankleft[egin{array}{cccc}3&-1&3&1\1&-cfrac{13}{9}&0&-cfrac{13}{9}\2&-4&-1&2end{array}
ight]=3[/latex]
Dla [latex]a=-cfrac{13}{18}[/latex] mamy [latex]rank(A)
eq
ank(Au)[/latex], zatem układ nie ma rozwiązań.
W zadaniu 2 postępowanie analogiczne. Z tym, że tutaj
[latex]det(A)=12a-28[/latex]
[latex]det(A)=0Leftrightarrow{a}=cfrac{7}{3}[/latex]
Dla [latex]a=cfrac{7}{3}[/latex] mamy:
[latex]rank(A)=rank(Au)=2[/latex]
Oznacza to, że dla [latex]a=cfrac{7}{3}[/latex] układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 1 parametru. Aby znaleźć te rozwiązania należy rozwiązać układ
[latex]egin{cases}x+3y=z\2x+2y=cfrac{7}{3}zend{cases}[/latex]
gdzie z jest parametrem.
Wówczas:
[latex]x=-0,25zqquad{y}=cfrac{5}{12}zqquad{z}inmathbb{R}[/latex]
