1-Ciało o masie 1,5kg zostało rzucone z wysokości 15m pionowo w dół z prędkością początkową 5m/s. Oblicz prędkość końcową . 2- Ciało o masie 2kg zostało rzucone poziomo z prędkością początkową 10 m/s. Oblicz po jakim czasie energia kinetyczna wzrośnie

Zad. 1. Myślę, że to zadanie najlepiej rozwiązać energetycznie, tzn. skorzystać z zasady zachowania energii.        Dane:                                         Szukane:  a = 1 m/s²                                     v (końcowe) = ? v (początkowe) = 0 m/s t = 5 s   1). Na wysokości 'h' nasze ciało posiadało energię potencjalną, a z faktu, że posiadało prędkość początkową, wynika, że miało ono określoną energię kinetyczną. Więc na górze mamy: Ep + Ek = m*g*h + mv²/2 2). Już po spadku do samej ziemi, ciało nie posiadało energii potencjalnej (Ep = 0 N), ale jeszcze posiadało prędkość końcową, a więc energię kinetyczną (Ek). Więc a dole mamy: Ep + Ek = 0 N + mv²/2 = mv²/2  3). Z zasady zachowania energii wynika, że zawsze jeden rodzaj energii przekształca się w drugi jej rodzaj, tzn. w tym wypadku zapisujemy: Ep + Ek (początkowa) = Ek (końcowa), a więc po podstawieniu: m*g*h +m*v (początkowe) ² / 2 = m*v (końcowe) ²  4). Tak przekształcamy wzór, aby otrzymać prędkość końcową. m*v (początkowe) ²/2 + m*g*h = m*v (końcowe) ²/2   / : m v (początkowe) ²/2 + g*h = v (końcowe) ²/2    / * 2 v (początkowe) ² + 2*g*h = v (końcowe) ² / √ v (końcowe) = [latex] sqrt{v (poczatkowe)^{2} +2*g*h } [/latex]  A teraz to już tylko podstawiamy do wzoru: v (końcowe) = [latex] sqrt{(5m/s)^{2} + 2*10 m/s^{2}* 15 m } [/latex] v (końcowe) = [latex] sqrt{325 m^{2}/s^{2} } [/latex] v (końcowe) = 18,03 m/s Zad. 2.  Dane:                                                              Szukane: m = 2 kg                                                             t = ? v (początkowe) = 10 m/s  Ek (końcowa) = 4*Ek (początkowa) 1). Najpierw musimy wykorzystać fakt, że końcowa energia kinetyczna ciała jest równa 4* energii kinetycznej początkowej. Ze wzoru mamy: Ek = [latex] frac{m*v^{2} }{2} [/latex]  Masa ciała nigdy nie ulega zmianie (jest to wartość stała), przez co wniosek nasuwa się sam: E kinetyczna ciała jest wprost proporcjonalna do kwadratu jego prędkości. czyli Ek~v². No więc, podstawiamy : 4* Ek (początkowa) = v² ----> więc 'v' musi wzrosnąć tyle samo razy co Ek, ale mamy tutaj 'v' do kwadratu, dlatego 2²=4 ---> prędkość wzrośnie 2 razy. v (końcowe) = 2* v (początkowe). 2). Obliczamy prędkość końcową potrzebną nam do obliczeń:  v (końcowe) = 2* v (początkowe). czyli: v (końcowe) = 2* 10 m/s  v (końcowe) = 20 m/s 3). A teraz to już tylko zabiegi pielęgnacyjne. :) Po prostu podstawiamy wszystko do równania prędkości:  v (końcowe) = v (początkowe) + a*t. !!! Ale uwaga ! Naszym przyspieszeniem 'a' jest po prostu siła grawitacji 'g' !!!  Tak więc: v (końcowe) = v (początkowe) + g*t 4). Przekształcamy wzór tak, by wyliczyć nasz czas 't' : v (końcowe) = v (początkowe) + g*t  v (końcowe) - v (początkowe) = g*t / : g  t = [latex] frac{v (koncowe) - v (poczatkowe) }{g} [/latex] 5). Podstawiamy do wzoru: :D  t = [latex] frac{20 m/s - 10 m/s }{10 m/s^{2} } [/latex] t = [latex] frac{10 m/s}{10 m/s^{2} } [/latex] t = 1 s

Zadanie 1) DANE: [latex]m=1,5kg[/latex] [latex]v_{0}=5frac{m}{s}[/latex] [latex]h=15 m[/latex] SZUKANE: Prędkość końcowa [latex]v=?[/latex] Obliczenia: Z zasady zachowania energii wiemy, iż suma energii potencjalnej i kinetycznej jaką posiada ciało pozostanie stała. Energia początkowa składa się z energii potencjalnej i kinetycznej. Energia potencjalna [latex]E_{p}=m imes g imes h[/latex] Energia kinetyczna początkowa [latex]E_{kp}=frac{m imes v_{0}^{2}}{2}[/latex] Energia końcowa to jedynie energia kinetyczna: [latex]E_{kk}=frac{m imes v^{2}}{2}[/latex] Zatem [latex]E_{p}+E_{kp}=E_{kk}[/latex] Podstawiając: [latex]m imes g imes h + frac{m imes v_{0}^{2}}{2} = frac{m imes v^{2}}{2} | imes 2[/latex] [latex]2 imes m imes g imes h + m imes v_{0}^{2} = m imes v^{2} | : m[/latex] [latex]2 imes g imes h + v_{0}^{2} = v^{2}[/latex] [latex]v=sqrt{v_{0}^{2} + 2 imes g imes h}[/latex] Po podstawieniu wartości: [latex]v=sqrt{5frac{m}{s}^{2} + 2 imes 10frac{m}{s^{2}} imes 15m}=sqrt{25frac{m^{2}}{s^{2}}+300frac{m^{2}}{s^{2}}}=sqrt{325frac{m^{2}}{s^{2}}}=18,027frac{m}{s}[/latex] Odp. Prędkość końcowa wynosi  18,027 [latex]frac{m}{s}[/latex] Zadanie 2) DANE: [latex]m=2kg[/latex] [latex]v_{0}=10frac{m}{s}[/latex] [latex]E_{kk}=4 imes E_{kp}[/latex] (energia kinetyczna końcowa jest cztery razy większa od początkowej, wzór (1) SZUKANE: t - czas po jakim warunek [latex]E_{kk}=4 imes E_{kp}[/latex] będzie spełniony Należy pamiętać, że ciało zostało rzucone poziomo, więc jego prędkość w trakcie spadania będzie sumą wektorów prędkości początkowej i końcowej, jak na rysunku w załączniku. Wartości tych prędkości: Składowa prędkości wynikająca ze spadania i faktu że ciało nie miało prędkości pionowej na początku [latex]v_{g}=g imes t[/latex] Składowa pozioma prędkości, nie zmienia się [latex]v_{0}=10frac{m}{s}[/latex] Wypadkowa wartość wektora prędkości ciała będzie mogła zostać wyliczona z twierdzenia Pitagorasa (zgodnie z rysunkiem). [latex]v=sqrt{v_{0}^{2}+v_{g}^{2}}=sqrt{v_{0}^{2}+(g imes t)^{2}}=sqrt{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}[/latex]  wzór (2) Podstawiając dane do wzoru (1) [latex]frac{4mv_{0}^{2}}{2}=frac{mv^{2}}{2} | imes 2[/latex] [latex]4mv_{0}^{2}=mv^{2} |: m[/latex] [latex]4v_{0}^{2}=v^{2} [/latex] Korzystając z wzoru (2) [latex]4v_{0}^{2}=v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}[/latex] [latex]3v_{0}^{2}=g^{2}t^{2}[/latex] [latex]t^{2}=frac{3v_{0}^{2}}{g^{2}}[/latex] [latex]t=sqrt{frac{3v_{0}^{2}}{g^{2}}}=frac{v_{0}}{g} imes sqrt{3}[/latex] Pozostaje podstawić wartości: [latex]t=frac{v_{0}}{g} imes sqrt{3}=frac{10frac{m}{s}}{10frac{m}{s^{2}}} imes sqrt{3}=sqrt{3}s=1,732s[/latex] Odpowiedź. Energia kinetyczna wzrośnie czterokrotnie po 1,732s.