Zbadaj monotoniczność ciągu. [latex]an= frac{7n-11}{2n+3} [/latex] Z góry dziękuje i pozdrawiam.

[latex]a_{n+1}=frac{7(n+1)-11}{2(n+1)+3}=frac{7n+7-11}{2n+2+3}=frac{7n-4}{2n+5}\\a_{n+1}-a_n=frac{7n-4}{2n+5}-frac{7n-11}{2n+3}=frac{(7n-4)(2n+3)-(7n-11)(2n+5)}{(2n+5)cdot(2n+3)}=\\=frac{43}{(2n+5)cdot(2n+3)}>0\\a_{n+1}>a_n[/latex] Ciąg jest rosnący.

Wybieramy dowolne [latex]ninmathbb{N_+}}[/latex] i badamy znak różnicy [latex]a_{n+1}-a_{n}[/latex] [latex]a_{n+1}-a_{n}= frac{7(n+1)-11}{2(n+1)+3} - frac{7n-11}{2n+3} = frac{7n-4}{2n+5}- frac{7n-11}{2n+3}=[/latex] [latex]=frac{(7n-4)(2n+3)-(7n-11)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}= frac{14n^2+13n-12-(14n^2+12n-55)}{(2n+5)(2n+3)}=frac{n+43}{(2n+5)(2n+3)} [/latex] Teraz wiemy, że mamy do czynienia z liczbami naturalnymi, więc [latex]forall_{ninmathbb{N_+}} n+43>0[/latex] [latex]forall_{ninmathbb{N_+}} 2n+5>0[/latex] [latex]forall_{ninmathbb{N_+}} 2n+3>0[/latex] Z drugiego i trzeciego kwantyfikatora możemy wnioskować, że [latex]forall_{ninmathbb{N_+}} (2n+5)(2n+3)>0[/latex] Zatem nasz wynik operacji to jakaś liczba dodatnia podzielona przez iloczyn liczb dodatnich, czyli na pewno całość jest dodatnia, zatem zapisujemy [latex][forall_{ninmathbb{N_+}} frac{n+43}{(2n+5)(2n+3)} >0] =>[/latex] ciąg [latex](a_n)[/latex] jest rosnący, ponieważ różnica n+1-szego i n-tego wyrazu tego ciągu jest większa od zera.