Podane dane pozwalają jedynie na obliczenie wzrostu temperatury kulki przy pierwszym odbiciu, nie wiemy co stanie się z kulką potem (czy i ile razy odbije się od powierzchni). Poniżej wyliczenia. DANE: h - wysokość z której zrzucono kulkę t - czas, który upłynął od pierwszego do następnego uderzenia o stół (kula się odbija) Wiemy, iż początkowa energia potencjalna kulki zamieni się w momencie pierwszego odbicia na energię kinetyczną kulki (lot w górę) oraz na pewną ilość ciepła, które spowoduje ogrzanie kulki (i powierzchni od której się ona odbija, natomiast w zadaniu pomijamy ten efekt gdyż nie dysponujemy potrzebnymi danymi). [latex]mcdot gcdot h=frac{mv_1^{2}}{2}+Q[/latex] Gdzie [latex]v_1[/latex] - prędkość kulki tuż po odbiciu Czas pomiędzy odbiciami dzieli się na 2 okresy - czas lotu piłeczki w górę, oznaczony jako [latex]t_1[/latex] oraz czas spadania z osiągniętej po odbiciu wysokości, oznaczony jako [latex]t_2[/latex]. Podczas lotu w górę po odbiciu obowiązuje zależność: [latex]v=v_1-gt_1[/latex] Po upływie czasu [latex]t_1[/latex] i osiągnięciu maksymalnej wysokości po odbiciu, kulka zawiśnie na moment w powietrzu (jej prędkość wynosi 0). Pozwoli to obliczyć czas [latex]t_1[/latex]. [latex]0=v_1-gt_1[/latex] a stąd czas lotu w górę: [latex]t_1=frac{v_1}{g}[/latex] Możemy już wyliczyć [latex]h_1[/latex], czyli wysokość, na którą piłeczka się odbije. Będzie nam ona potrzebna do obliczenia czasu spadania z tej wysokości [latex]t_2[/latex] aż do drugiego odbicia. [latex]h_1=v_1cdot t_1-frac{gcdot t_1^2}{2}[/latex] [latex]h_1=frac{v_1^2}{g}-frac{gcdot v_1^2}{2cdot g^2}[/latex] [latex]h_1=frac{v_1^2}{g}-frac{v_1^2}{2cdot g}=frac{2cdot v_1^2}{2cdot g}-frac{v_1^2}{2cdot g}=frac{v_1^2}{2cdot g}[/latex] Od tego momentu kulka zacznie spadek swobodny z wysokości [latex]h_1[/latex]. Ponieważ w tym spadaniu prędkość początkowa wynosi 0, obowiązuje zależność: [latex]h_1=frac{gt_2^2}{2}[/latex] Pozwoli nam to obliczyć czas spadania po osiągnięciu maksymalnej wysokości odbicia - [latex]t_2[/latex]. [latex]t_2=sqrt{frac{2cdot h_1}{g}}=sqrt{frac{2cdot v_1^2}{2cdot gcdot g}}=sqrt{frac{v_1^2}{g^2}}=frac{v_1}{g}[/latex] Ponieważ czas [latex]t=t_1+t_2[/latex], to podstawiając [latex]t_1[/latex] oraz [latex]t_2[/latex], uzyskujemy: [latex]t=frac{2cdot v_1}{g}[/latex] Mając związek pomiędzy t a [latex]v_1[/latex], po przekształceniu uzyskujemy zależność: [latex]v_1=frac{gcdot t}{2}[/latex] Podstawiając do początkowej zależności: [latex]mcdot gcdot h=frac{mv_1^{2}}{2}+Q[/latex] uzyskujemy: [latex]mcdot gcdot h=frac{m}{2}cdotfrac{g^2t^2}{2^2}+Q[/latex] Wydzielone przy zderzeniu ciepło wynosi: [latex]Q=mcdot gcdot h-frac{m}{2}cdotfrac{g^2t^2}{2^2}=mgh-frac{mg^2t^2}{8}[/latex] Uwzględniając definicję ciepła właściwego: [latex]C=frac{1}{m}frac{Q}{Delta T}[/latex] Przekształcając uzystkujemy wzór pozwalający w oparciu o dostępne dane wyliczyć wzrost temperatury kulki: [latex]Delta T=frac{1}{m}(frac{mgh-frac{mg^2t^2}{8}}{C})=(frac{gh-frac{g^2t^2}{8}}{C})=frac{8gh-g^2t^2}{8C}[/latex]
Zakładamy, że jedyną stratą energii jest energia na ogrzanie kulki podczas uderzenia w stół. Oznacza to zatem, że zderzenie było niesprężyste. Początkowa en. potencjalna kulki to E=mgh (m-masa kulki, h-wysokość na jakiej kulka znajdowała się). Po odbiciu się od stołu kulka powędrowała na wysokość H i ma na tej wys. en. potencjalną E₁=mgH. Strata energii, która zamieniła się w ciepło, wynosi zatem: E-E₁=mg(h-H)=cmΔT ==> ΔT=g(h-H)/c Wysokość H=gt₁²/2 gdzie t₁ to czas wznoszenia się kulki, który jest równy czasowi spadania kulki do kolejnego uderzenia w stół. Czyli 2t₁=t a t jest podane w pytaniu. Po podstawieniu mamy H=gt²/8 i po podstawieniu do wzoru na ΔT mamy: ΔT=g(h-gt²/8)/c
