A. n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: [latex]a_n = a_1 +(n-1) cdot r[/latex] lub [latex]a_n = a_k +(n-k) cdot r[/latex] gdzie [latex]n > k[/latex] oraz [latex]a_n[/latex] to n-ty wyraz ciągu arytmetycznego [latex]a_k[/latex] to k-ty wyraz ciągu arytmetycznego [latex]r[/latex] to różnica ciągu arytmetycznego Stąd: [latex]r = frac{a_n- a_k}{n-k}[/latex] [latex]a_5=8[/latex] [latex]a_{12}= -6[/latex] [latex]r = frac{a_{12}- a_5}{12-5}= frac{-6-8}{7} = frac{-14}{7}=-2 [/latex] Zatem: [latex]a_{50} = a_5 +(50-5) cdot (-2) = 8 + 45 cdot (-2) = 8 - 90 =- 82[/latex] Odp. [latex]a_{50}= -82[/latex] B. n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: [latex]a_n = a_1 cdot q^{n-1}[/latex] lub [latex]a_n = a_k cdot q^{n-k}[/latex] gdzie [latex]n > k[/latex] oraz [latex]a_n[/latex] to n-ty wyraz ciągu geometrycznego [latex]a_k[/latex] to k-ty wyraz ciągu geometrycznego [latex]q[/latex] to iloraz ciągu geometrycznego [latex]a_3=1[/latex] [latex]a_4= frac{2}{3} [/latex] [latex]a_4 = a_3 cdot q^{4-3}\\ a_4 = a_3 cdot q \\ frac{2}{3}=1 cdot q \\ q= frac{2}{3}[/latex] Zatem: [latex]a_3 = a_1 cdot q^{3-1}\\ a_3 = a_1 cdot q^2 \\ 1= a_1 cdot (frac{2}{3})^2 \\ 1 = a_1 cdot frac{4}{9} / cdot frac{9}{4} \\ a_1= frac{9}{4}=2frac{1}{4}[/latex] Odp. [latex]a_1=2frac{1}{4} [/latex]
a), [latex]a_5=a_1+4r=8\a_{12}=a_1+11r=-6\a_{12}-a_5=a_1+11r-(a_1+4r)=-6-8\a_1+11r-a_1-4r=-14\7r=-14\r=-2\a_1=8-4*(-2)=16\a_{50}=16+49*(-2)=16-98=-82[/latex] b), [latex] q=frac{a_4}{a_3}= frac{2}{3}\a_3=a_1*q^2\a_1= frac{1}{ (frac{2}{3})^2 }= frac{9}{4}=2,25 [/latex]
