Najpierw wyznaczmy przyspieszenie staczania się z równi okrągłej bryły. Z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego i postępowego mamy równania: I·ε = T·r m·a = m·g·sinα - T ---> T = m·g·sinα - m·a ε = a/r I·a/r = (m·g·sinα - m·a)·r a = m·g·sinα / (m + I/r²) Dla kuli I = (2/5)·m·r² więc ak = (5/7)·g·sinα Dla obręczy I = m·r² więc ao = (1/2)·g·sinα Żeby drogi przebyte w tym samym czasie t przez obie bryły były równe musi zachodzić równość: sk = so ak·t²/2 = vo·t + ao·t²/2 ----> vo = (ak - ao)·t/2 vo = (5/7 - 1/2)·g·t·sinα / 2 = (3/28)·g·t·sinα
[latex]Momenty bezwladnosci dla kuli i obreczy wzgledem osi\ przechodzacej przez srodek ciezkosci wynosza odpowiednio:\ I_1=frac{2}{5}mR^2\ I_2=mR^2\ Skorzystamy z II zasady dynamiki dla ruchu postepowego\ i obrotowego. W obu przypadkach postepujemy podobnie, roznica\ sa momenty bezwladnosci:\ F_w=ma\ M_w=Ivarepsilon wedge varepsilon=frac{a}{R}\ =====================\ Qsinalpha-T=ma(1)\ mgsinalpha-T=ma\ TR=Ifrac{a}{R}(2)\ T=frac{Ia}{R^2}\ [/latex] [latex]Dla kuli:\ T=frac{frac{2}{5}mR^2a_1}{R^2}=frac{2}{5}ma_1\ Wracamy do rownania (1)\ mgsinalpha-frac{2}{5}ma_1=ma_2\ gsinalpha=frac{7}{5}ma\ a_1=frac{5}{7}gsinalpha\ Dla obreczy:\ T=frac{mR^2a_2}{R^2}=ma_2\ mgsinalpha-ma_2=ma_2\ mgsinalpha=2ma_2\ a_2=frac{1}{2}gsinalpha\[/latex] [latex]Teraz tak:\ x_1=x_2\ x_1=frac{1}{2}*frac{5}{7}gsinalpha t^2=frac{5}{14}gsinalpha t^2\ x_2=v_0t+frac{1}{2}*frac{1}{2}gsinalpha t^2=v_0 t+frac{1}{4}gsinalpha t^2\ frac{5}{14}gsinalpha t^2=v_0t+frac{1}{4}gsinalpha t^2\ v_0 t=frac{3}{28}gsinalpha t^2\ oxed{v_0=frac{3}{28}gsinalpha t}[/latex]
