Korzystając z III prawa Keplera: T²/R³=const T-okres obiegu R-promień orbity Dla Ziemi: T = 1rok r = 1au T²/R³ = 1 rok²/au³ Dla obiektu: 1 = 8²/R³ R³ = 64 R = 4 au = 4 * 1.5 * 10^8 km = 6*10^8 km
Wiemy że częstość kołowa obiegu obiektu wokół Słońca to: [latex]omega=frac{2pi}{T}[/latex] oraz że prędkość liniową jego obiegu określa wzór [latex]v=omegacdot r[/latex] W układzie związanym z obiektem, siła oddziaływania grawitacyjnego równoważy siłę odśrodkową: [latex]frac{GMm}{r^2}=frac{mv^2}{r}[/latex] Upraszczając otrzymujemy: [latex]frac{GM}{r}=v^2[/latex] Podstawiamy zależność prędkości liniowej od kątowej: [latex]frac{GM}{r}=omega^2r^2[/latex] [latex]GM=frac{4pi^2}{T^2}r^3[/latex] [latex]r^3=frac{GMT^2}{4pi^2}[/latex] Otrzymujemy wzór na promień obiegu dla zadanego okresu: [latex]r=sqrt[3]{frac{GMT^2}{4pi^2}}[/latex] Podstawiamy dane: [latex]r=sqrt[3]{frac{GMT^2}{4pi^2}}=sqrt[3]{frac{6,67cdot10^{-11}frac{m^3}{kg s^2}cdot 1,9891cdot 10^{30} kgcdot (8cdot 365cdot 86400s)^2}{4pi^2}}=\sqrt[3]{frac{6,67cdot10^{-11}frac{m^3}{kg s^2}cdot 1,9891cdot 10^{30} kgcdot 6,364cdot 10^{16}}{4pi^2}}=\approx 5,98cdot 10^{11}m=5,98cdot 10^{8}km[/latex] Odpowiedź: Promień obiegu obiektu to około [latex]5,98cdot 10^{8} km[/latex]
