Dopisz sobie tylko znak przed każdym ułamkiem ([latex]frac{3n+1}{n^2 + n+1} geq frac{3n}{n^2+n^2+n^2} = frac{3n}{3n^2} = frac{1}{n}[/latex] Możesz sobie dopisać, że 1/n jest rozbieżny i na mocy kryterium porównawczego szereg z zadania jest rozbieżny. Powodzenia przy sesji :D Ja miałem dzisiaj analizę, i na szczęście jestem po :)
[latex] oindent \* $\* [\* sum_{n=1}^infty frac{3n+1}{n^2+n+1}\* ]\ [/latex] Zastosujemy kryterium porównawcze. Będziemy starali się udowodnić, że dla prawie wszystkich n nasz szereg jest większy od szeregu harmonicznego [latex] frac{1}{n} [/latex]. Jeśli to udowodnimy, to z rozbieżności szeregu harmonicznego wynika rozbieżność naszego szeregu. Nasza teza: [latex]sum_{n=1}^infty frac{3n+1}{n^2+n+1}>sum_{n=1}^infty frac{1}{n} [/latex] Dowód: [latex] frac{3n+1}{n^2+n+1}> frac{1}{n}\ \ frac{3n^2+n}{n^2+n+1}> 1 \ \ frac{3n^2+n}{n^2+n+1}> frac{n^2+n+1}{n^2+n+1} \\ frac{3n^2+n}{n^2+n+1}- frac{n^2+n+1}{n^2+n+1} >0\\ frac{2n^2-1}{n^2+n+1} >0\ [/latex] Teraz już widać, że nierówność jest spełniona ponieważ, mianownik jest dodatni oraz licznik jest dodatni.
