Zacznijmy od przedstawienia sobie energii kinetycznej w postaci funkcji: [latex]Ek=frac{1}{2}momega^2A^2sin^2(omega t+varphi)\\ [/latex] m-masa k-współczynnik sprężystości ω-pulsacja Na początku pozbywamy się pulsacji: [latex]omega^2=dfrac{m}{k}Rightarrow Ek=frac{1}{2}kA^2sin^2(omega t+varphi)\\[/latex] Z własności trygonometrycznych wiemy że: [latex]sin^2x+cos^2x=1Rightarrow sin^2x=1-cos^2x[/latex] Wyprowadzenie z jedynki trygonometrycznej nie jest tutaj bezcelowe. Z jego pomocą możemy prowadzić do wzoru wzór funkcji na przemieszczenie: [latex]Ek=frac{1}{2}kA^2[1-cos^2(omega t^2+varphi)]\\\ Ek=frac{1}{2}kA^2-frac{1}{2}kA^2cos^2\\ x(t)=Acos(omega t+varphi)\\ Ek=frac{1}{2}kA^2-frac{1}{2}kx^2\\ Ek=frac{1}{2}k(A^2-x^2)\\ Ek=frac{1}{2}k(A^2-frac{A^2}{3^2})\\ Ek=frac{1}{2}k(frac{8A^2}{9})\\ Ek=frac{4kA^2}{9}[/latex] Teraz zajmiemy się energią potencjalną: [latex]Ep=frac{1}{2}kx^2\\ Ep=frac{1}{2}frac{kA^2}{3^2}\\ Ep=frac{1}{2}frac{kA^2}{9}\\ Ep=frac{kA^2}{18}[/latex] Możemy zatem przejść do obliczenia stosunku: [latex]dfrac{Ep}{Ek}=dfrac{frac{kA^2}{18}}{frac{4kA^2}{9}}\\\ dfrac{Ep}{Ek}=dfrac{frac{1}{18}}{frac{4}{9}}\\\ dfrac{Ep}{Ek}=dfrac{9}{4cdot 18}\\\ oxed{dfrac{Ep}{Ek}=dfrac{1}{8}}[/latex] Pozdrawiam, Adam
Potrzebne nam wzory na energię potencjalną i i kinetyczną w ruchu harmonicznym. Z tych wzorów w zasadzie wszystko wynika. Najpierw policzymy energię potencjalną, później kinetyczną (tutaj zrobimy taki trick z jedynką trygonometryczną, dzięki czemu zamienimy sinus na cosinus). [latex]E_p-energia potencjalna\ E_k-energia kinetyczna\\ E_p= frac{1}{2}cdot k A^2cos^2(omega t+phi)=frac{1}{2}cdot k x^2\\ E_k=frac{1}{2}cdot k A^2sin^2(omega t+phi)=frac{1}{2}cdot k A^2[1-cos^2(omega t+phi)]=\= frac{1}{2}cdot k A^2-frac{1}{2}cdot k A^2cos^2(omega t+phi)=frac{1}{2}cdot k A^2-frac{1}{2}cdot k x^2= frac{1}{2}cdot k(A^2-x^2)\\ [/latex] Teraz już wystarczy przyrównać te dwie energie, aby otrzymać ich stosunek: [latex] frac{E_p}{E_k}= frac{frac{1}{2}cdot kx^2}{frac{1}{2}cdot k(A^2-x^2)} = frac{x^2}{A^2-x^2}= frac{ frac{A^2}{9} }{A^2- frac{A^2}{9} }= frac{ frac{1}{9} }{frac{8}{9} }=oxed{ frac{1}{8} }[/latex]
