Pole ograniczone krzywymi to jest ten "krzywoliniowy trójkąt", który z każdej strony ma wykres innego koloru ;) Granice całkowania to przedział iksów, na którym się ten "trójkąt" rozciąga. Lewy koniec przedziału wyznaczony jest przez punkt przecięcia wykresu niebieskiego z fioletowym, czyli: [latex]left{egin{array}{l}y=frac{1}{x}\y=eend{array} ight.\\frac{1}{x}=e\\x=frac{1}{e}[/latex] Prawy koniec przedziału całkowania jest wyznaczony przez punkt przecięcia wykresu czerwonego z fioletowym: [latex]left{egin{array}{l}y=x^2\y=eend{array} ight.\\x^2=e\\x=sqrt{e}[/latex] Żeby policzyć to pole, trzeba będzie posłużyć się punktem "pośrednim", gdzie przecinają się wykresy niebieski z czerwonym, tzn. x=1. Wtedy, zgodnie ze wzorami na całki, pole jest równe: [latex]P=intlimits_{1/e}^{1}{e-frac1x};dx+intlimits_{1}^{sqrt{e}}{e-x^2};dx=\\{}\=Big[ex-ln{}xBig]_{1/e}^1+Big[ex-frac13x^3Big]_1^{sqrt{e}}=\\{}\=Big[(ecdot1-ln1)-(ecdotfrac1e-lnfrac1e)Big]+Big[(esqrt{e}-frac13(sqrt{e})^3)-(ecdot1-frac13cdot1^3)Big]=\\{}\=[e-0-(1-(-1))]+[esqrt{e}-frac13esqrt{e}-(e-frac13)]=\\{}\=(e-2)+(frac23esqrt{e}-e+frac13)=\\{}\=frac23esqrt{e}-frac53[/latex] lub inaczej: [latex]P=dfrac{2e^{frac32}-5}{3}[/latex]
Najpierw wypada się dowiedzieć w jakich punktach te funkcję się przecinają: [latex]x^2= e\ x=sqrt{e} vee x=-sqrt{e}\ \ x^2= frac{1}{x}\ x^3=1\ x=1\\ frac{1}{x}=e\ x= frac{1}{e} [/latex] No to teraz. policzmy pole pod wykresem funkcji y=e w przedziale[latex]( frac{1}{e},sqrt{e} )[/latex] [latex]int^{ sqrt{e} }_ frac{1}{e} edx=[ex]^{ sqrt{e} }_frac{1}{e}=esqrt{e}-1[/latex] Policzyliśmy za dużo, dlatego teraz musimy odjąć. Najpierw odejmiemy pole pod wykresem y=x^2 w przedziale [latex](1,sqrt{e})[/latex] a potem pole pod wykresem funkcji y=1/x w przedziale (1/e,1) [latex]int x^2dx=[ frac{1}{3} x^3]^{sqrt{e}} _1= frac{e sqrt{e} }{3}- frac{1}{3}= frac{1}{3}(e sqrt{e}-1) \\ int frac{1}{x}dx=[ln|x|]^1_ frac{1}{e} =ln1-ln frac{1}{e}=0-(-1)=1 [/latex] Odejmujemy wszystko co nam wyszło od pierwotnej wartości: [latex]esqrt{e}-1-frac{1}{3}(e sqrt{e}-1) -1=oxed{esqrt{e}-frac{1}{3}(e sqrt{e}-1) -2}[/latex]
