Zgodnie z relatywistycznym przekształceniem masy: [latex]m_r=frac{m_0}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}[/latex] Gdzie: [latex]m_r[/latex] - relatywistyczna masa wynikająca z przekształcenia Lorentza [latex]m_0[/latex] - masa spoczynkowa [latex]c[/latex] - prędkość światła [latex]v[/latex] - prędkość ciała Ponieważ wiemy iż [latex]m_r=2m_0[/latex], podstawiamy do wzoru i przekształcając wyznaczamy prędkość dla której zachodzi taka zależność: [latex]2m_0=frac{m_0}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} Big|:m_0[/latex] [latex]2=frac{1}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}[/latex] [latex]sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}=frac{1}{2} Big|^2[/latex] [latex]1-frac{v^2}{c^2}=frac{1}{4}[/latex] [latex]frac{v^2}{c^2}=frac{3}{4}[/latex] [latex]v^2=frac{3}{4}c^2[/latex] [latex]v=frac{sqrt{3}}{2}capprox oxed{0,86c}[/latex] Czyli dla prędkości [latex]frac{sqrt{3}}{2}c[/latex] masa elektronu jest dwukrotnie większa od spoczynkowej. Całkowitą energię elektronu obliczymy ze wzoru, który również uwzględnia korektę Lorentza: [latex]E_r=frac{m_0c^2}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}=frac{m_0c^2}{sqrt{1-frac{(frac{sqrt{3}}{2}c)^2}{c^2}}}=frac{m_0c^2}{sqrt{1-frac{frac{3}{4}c^2}{c^2}}}=frac{m_0c^2}{sqrt{frac{1}{4}}}=frac{m_0c^2}{frac{1}{2}}=2m_0c^2=2cdot 9,1cdot 10^{-31}[kg]cdot (3cdot 10^8frac{m}{s})^2approx oxed{1,64cdot 10^{-13} [J]}[/latex]
Oznaczmy, spoczynkową masę elektronu jako [latex]m_0[/latex]. Relatywistyczną masę elektronu, który porusza się z pewną prędkością możemy obliczyć ze wzoru : [latex]m= frac{m_0}{ sqrt{1-frac{v^2}{c^2}} } [/latex] Jak wynika z treści zadania, mamy znaleźć prędkość dla której [latex]m=2m_0[/latex]. Podstawiamy to do naszego wzoru : [latex]2m_0= frac{m_0}{ sqrt{1-frac{v^2}{c^2}} } \\ 2= frac{1}{ sqrt{1-frac{v^2}{c^2}} } \\ sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}= frac{1}{2}\\ 1-frac{v^2}{c^2}= frac{1}{4}\\ frac{v^2}{c^2}= frac{3}{4}\\ 4v^2=3c^2\\ v= sqrt{ frac{3c^2}{4} } \\ v= frac{ sqrt{3} }{2}cdot capprox 260 000 frac{km}{s} [/latex] Całkowitą relatywistyczną energię elektronu o prędkości V możemy obliczyć korzystając ze wzoru: [latex]E=m_0c^2cdot( { frac{1}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}} }) =m_0c^2( frac{1}{ frac{1}{2} } )=2m_0c^2=[/latex] [latex]=2cdot 9,11cdot 10^{-31}cdot 9cdot 10^{16}approx 1,64cdot 10^{-13}J[/latex]
