Równania wykładnicze. Zdania w załącznikach Proszę o wyjaśnienie i pomoc w dwóch podpunktach 1.49 b,c 1.50 a,d

Równania tego typy rozwiązujemy sprowadzając obie strony równania do postaci potęg o tych samych podstawach. (konieczna jest znajomość działań na potęgach) Potęgi o tych samych podstawach są równe jeśli ich wykładniki są równe, więc opuszczamy podstawy i zostawiamy same wykładniki. 1.49 b) [latex]left ( frac{25 sqrt{5} }{0,2} ight)^{2x}= 5^{x^2+10}\\ left ( frac{5^2 *5^{ frac{1}{2} } }{ frac{2}{10} } ight)^{2x}= 5^{x^2+10}\\ left ( 5^{2 frac{1}{2}}* frac{10}{2} ight)^{2x}= 5^{x^2+10}\\left ( 5^{3 frac{1}{2}} ight)^{2x}= 5^{x^2+10}\\5^{7x}}= 5^{x^2+10}[/latex] [latex]7x=x^2+10\\x^2-7x+10=0\\ Delta=49-4*1*10=9 quad implies quad sqrt{Delta} =3\\ x_1= frac{-b- sqrt{Delta}}{2a}= frac{7-3}{2}=2, qquad x_2= frac{-b+ sqrt{Delta}}{2a}= frac{7+3}{2}=5[/latex] c) [latex]left( sqrt[3]{4 sqrt[4]{4} } ight)^{6x+6}=8^{ frac{1}{3}x^2+3 } \\ left( ig (2^2* (2^2)^{ frac{1}{4} } }ig)^{ frac{1}{3} } ight)^{6x+6}=(2^3)^{ frac{1}{3}x^2+3 }\\ left( 2^2 *(2)^{ frac{1}{2} } } ight)^{ frac{1}{3} (6x+6)}=2^{x^2+9}\\ left( 2^{2 frac{1}{2} } } ight)^{ 2x+2}=2^{x^2+9}\\ 2^{ frac{5}{2}( 2x+2)}=2^{x^2+9}\\ 5x+5=x^2+9[/latex] [latex]x^2-5x+4=0\\ Delta=25-16=9 implies sqrt{Delta}=3\\ x_1= frac{5-3}{2}=1, qquad x_2= frac{5+3}{2} =4 [/latex] 1.50 a) [latex](0,5)^{x^2}*2^{2x+2}= frac{1}{64} \\ (frac{1}{2})^{x^2}* 2^{2x+2}=(frac{1}{2})^6 \\2^{-x^2}* 2^{2x+2}=2^{-6}\\ 2^{-x^2+2x+2}=2^{-6}\\-x^2+2x+2=-6[/latex] [latex]-x^2+2x+8=0\\ x^2-2x-8=0\\ Delta=4+32=36 implies sqrt{Delta}=6\\ x_1= frac{2-6}{2}=-2, qquad x_2= frac{2+6}{2} =4[/latex] d) [latex]( frac{2}{5} )^{x^2-1}*( frac{25}{4} )^{-2x}=left( sqrt{ frac{2}{5} } ight)^{4x-4x^2}\\( frac{2}{5} )^{x^2-1}*( frac{4}{25} )^{2x}=left( frac{2}{5} ight)^{ frac{1}{2} (4x-4x^2)}\\( frac{2}{5} )^{x^2-1}*( frac{2}{5} )^{2*2x}=left( frac{2}{5} ight)^{ 2x-2x^2}\\ ( frac{2}{5} )^{x^2-1+4x}=left( frac{2}{5} ight)^{ 2x-2x^2}\\x^2-1+4x=2x-2x^2[/latex] [latex]3x^2+2x-1=0\\Delta=4+12=16 implies sqrt{Delta}=4\\ x_1= frac{-2-4}{6}=-1, qquad x_2= frac{-2+4}{6} =frac{2}{6}=frac{1}{3}[/latex]

 Zadanie w załącznikach. :) Wiadomo, że funkcja wykładnicze jest różnowartościowa, zatem wykładniki przy takich samych podstawach są równe.