Wiedząc , że tg[latex] alpha [/latex] = [latex]frac{1}{2} [/latex] , oblicz sin 2[latex] alpha [/latex]

[latex] tg alpha = frac{1}{2}[/latex] tangens dodatni czyli kąt jest w pierwszej (sinus i cosinus dodatnie)  lub w trzeciej ćwiartce (sinus i cosinus ujemne) [latex]tg alpa=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{1}{2}\ cosalpha=2sinalpha[/latex] podstawiam do jedynki trygonometrycznej [latex]sin^2alpha+cos^2alpha=1\ sin^2alpha+4sin^2alpha=1\ sin^2alpha=frac{1}{5}\ (sinalpha=frac{sqrt{5}}{5};wedge;cosalpha=frac{2sqrt{5}}{5})quadveequad (sinalpha=-frac{sqrt{5}}{5};wedge;cosalpha=-frac{2sqrt{5}}{5}) [/latex] w pierwszej ćwiartce: [latex]sinalpha=frac{sqrt{5}}{5},; cosalpha=frac{2sqrt{5}}{5}[/latex] w trzeciej ćwiartce: [latex]sinalpha=-frac{sqrt{5}}{5},; cosalpha=-frac{2sqrt{5}}{5}[/latex] czyli w pierwszej ćwiartce: [latex]sin2alpha=2sinalphacosalpha=2cdotfrac{sqrt{5}}{5}cdotfrac{2sqrt{5}}{5}=frac{4}{5}[/latex] w trzeciej ćwiartce: [latex]sin2alpha=2sinalphacosalpha=2cdotleft(-frac{sqrt{5}}{5} ight)cdotleft(-frac{2sqrt{5}}{5} ight)=frac{4}{5}[/latex] ostatecznie [latex]sin 2alpha=frac{4}{5}[/latex]