Oznaczenia jak na rysunku – patrz załącznik AB, DC – podstawy trapezu ABCD AD – wysokość trapezu ABCD r – promień okręgu wpisanego w trapez ABCD [latex]|SC| = 2 \ |SB| = sqrt{12} \ |AD| = 2r[/latex] Trójkąty prostokątne BES i BGS są przystające - na podstawie cechy bkb: kąt prosty, jedna przyprostokątna to promień okręgu wpisanego r, a przeciwprostokątną jest odcinek SB, czyli prosta SB jest dwusieczną kąta ABC, zatem dzieli ona kąt ABC na dwa przystające kąty, które oznaczymy przez α. Podobnie oznaczamy przez β kąty na jakie dwusieczna SC dzieli kąt BCD. Na podstawie własności: "suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180°" otrzymujemy: [latex]2alpha + 2eta= 180^o /:2 \ alpha + eta = 90^o[/latex] Zatem trójkąt BSC jest prostokątny. Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy: [latex]|BC|^2 = |SB|^2 + |SC|^2 \ |BC|^2 = (sqrt{12})^2 + 2^2 \ |BC|^2 = 12 + 4 \ |BC|^2 = 16 \ |BC| = sqrt{16} \ |BC| = 4[/latex] Pole trójkąta BSC wynosi: [latex]P = frac{1}{2} cdot |SB| cdot |SC|[/latex] lub [latex] P = frac{1}{2} cdot |BC| cdot r[/latex] (bo długość r promienia okręgu wpisanego w trapez ABCD jest to wysokość w trójkącie BSC opuszczona na bok BC) Porównując te dwa wzory na pole trójkąta BSC otrzymujemy: [latex]frac{1}{2} cdot |BC| cdot r = frac{1}{2} cdot |SB| * |SC| / cdot 2 \ |BC| cdot r = |SB| cdot |SC| \ 4 cdot r = sqrt{12} cdot 2 \ 4r = sqrt{4 cdot 3} cdot 2 \ 4r = 2sqrt{3} cdot 2 \ 4r = 4sqrt{3} /:4 \ r= sqrt{3} [/latex] Zatem wysokość trapezu ABCD wynosi: [latex]|AD| = 2r \ |AD| = 2sqrt{3}[/latex] Korzystając z tw. o czworokącie opisanym na okręgu: „w czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe” otrzymujemy: [latex]|AB| + |CB| = |AD| + |BC| \ |AB| + |CB| = 2sqrt{3} + 4[/latex] Możemy obliczyć pole trapezu ABCD: [latex]P = frac{|AB| + |CD|}{2} cdot |AD| \ P = frac{2sqrt{3} + 4}{2} cdot 2sqrt{3} \ P = (2sqrt{3} + 4) cdot sqrt{3} \ P = 6 + 4sqrt{3} [/latex] Odp. Pole trapezu wynosi: [latex]6 + 4sqrt{3}[/latex]
