Rozwiąż podane całki wymierne ( całki w załączniku ) Daje najlepsze rozwiązanie!

Oba robimy przez podstawianie.  1) : [latex]t=sqrt[3]{3x+1} qquad /(...)^3 \ \ t^3=3x+1 \ \ 3t^2 mathrm{d}t=3mathrm{d}x \ \ t^2mathrm{d}t=mathrm{d}x[/latex] Skąd: [latex]displaystyle ...= int frac{t^2mathrm{d}t}{t-1}=int frac{t^2-1+1}{t-1}mathrm{d}t=int frac{t^2-1}{t-1}mathrm{d}t+ \ \ +int frac{mathrm{d}t}{t-1}= int frac{(t-1)(t+1)}{t-1}mathrm{d}t+ln |t-1|= \ \ = int (t+1)mathrm{d}t+ln |t+1|=frac{1}{2}t^2+t+ln |t-1|+C \ \ hbox{Wracamy do podstawienia:} \ \ intfrac{mathrm{d}x}{sqrt[3]{3x+1}-1}=frac{1}{2} (3x+1)^{frac{2}{3}}+sqrt[3]{3x+1}+ln|sqrt[3]{3x+1}-1|+C[/latex] Teraz druga. Dla własnej wygody przeniosę do całki -1 w licznik. [latex]displaystyle int frac{-1}{x-1} sqrt{dfrac{x+3}{x-1}}mathrm{d}x \ \ \ oxed{t=sqrt{dfrac{x+3}{x-1}}} qquad /(...)^2 \ \ t^2 =dfrac{x+3}{x-1}=dfrac{x-1+4}{x-1}=1+dfrac{4}{x-1} \ \ t^2-1=dfrac{4}{x-1} qquad /(....)^{-1} \ \ oxed{dfrac{4}{t^2-1}=x-1}  \ \ hbox{I liczac pochodna:} \ \ oxed{mathrm{d}x= -dfrac{8t}{(t^2-1)^2}mathrm{d}t}[/latex] Ostania linijka to obliczenie pochodnej  4/(t^2-1)  - mam nadzieję, że wiesz jak dojść do tego wyniku.  Wykorzystując tylko wyrażenia w ramkach mamy nową całkę:  [latex]displaystyle int frac{-1}{frac{4}{t^2-1}} cdot t cdot frac{-8t}{(t^2-1)^2}mathrm{d}t=int frac{8t^2}{frac{4}{t^2-1} cdot (t^2-1)^2}mathrm{d}t= \ \ = int frac{8t^2}{4(t^2-1)}mathrm{d}t=int frac{2t^2}{t^2-1}mathrm{d}t= int frac{t^2-1+t^2+1}{t^2-1}mathrm{d}t=\ \ =int mathrm{d}t + int frac{t^2+1}{t^2-1}mathrm{d}t=t+int frac{t^2-1+2}{t^2-1}mathrm{d}t= \ \ = t+int mathrm{d}t+int frac{2mathrm{d}t}{t^2-1}=2t+int frac{2mathrm{d}t}{t^2-1}[/latex] Wykorzystuję wzór: [latex]displaystyle int frac{mathrm{d}x}{x^2-a^2}= dfrac{1}{2a} ln left| dfrac{a-x}{a+x} ight|+C[/latex] Stąd mam wynik : [latex]...= 2t+ln left| dfrac{1-t}{1+t} ight|+C \ hbox{Wiec wynik naszej calki to:} \ \ \ displaystyle int frac{1}{1-x} sqrt{dfrac{x+3}{x-1}}mathrm{d}x=2sqrt{dfrac{x+3}{x-1}}+ ln left| dfrac{1-sqrt{dfrac{x+3}{x-1}}}{1+sqrt{dfrac{x+3}{x-1}}} ight|+C[/latex]