Dla każdego x,y,z>0 uzasadnij, że: [latex] frac{xy}{z}+frac{xz}{y}+frac{yz}{x} geq x+y+z[/latex]

Lewą stronę możemy sprowadzić do wspólnego mianownika i wtedy otrzymamy: [latex]frac{(xy)^2+(xz)^2+(yz)^2}{xyz} geq x+y+z[/latex]  skąd,   [latex](xy)^2+(xz)^2+(yz)^2 geq xyz(x+y+z)[/latex] i dalej  [latex](xy)^2+(xz)^2+(yz)^2 geq (xy)(xz) +(xy)(yz)+(xz)(yz)[/latex] Niech teraz [latex]a=xy, b=xz, c=yz[/latex] wtedy otrzymamy [latex]a^2+b^2+c^2 geq ab+ac+bc[/latex] ostatnia nierówność jest prawdziwa ze względu na: [latex](a-b)^2 + (a-c)^2+(b-c)^2geq 0[/latex] skąd [latex]a^2-2ab+b^2 +a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2geq 0[/latex] co nam daje [latex]2(a^2+b^2+c^2 -ab-ac-bc) geq 0[/latex] i ostatecznie [latex]a^2+b^2+c^2geq ab+ac+bc[/latex]