O ciągu an dla n ≥ 1 wiadomo, że ciąg bn określony wzorem bn = [latex] 4^{an} [/latex] dla n ≥ 1 jest geometryczny o ilorazie q = 16 oraz a1 + a2 + ... + a12 = 192. Oblicz a1.

Ponieważ ciąg [latex]b_n[/latex] jest ciągiem geometrycznym to dla każdego [latex]ngeq 1[/latex] mamy [latex]q = frac{b_{n+1}}{b_{n}} = frac{4^{a_{n+1}}}{4^{a_n}} = 4^{a_{n+1}-a_n}[/latex].  Ponieważ wiemy, że [latex]q=16[/latex] to mamy[latex]4^{a_{n+1}-a_n}=4^2 \ a_{n+1}-a_n=2, dla ngeq 1[/latex] zatem ciąg [latex]a_n[/latex] jest ciągiem arytmetycznym gdzie [latex]r=2[/latex]  zatem [latex]a_1+a_2+...+a_{12} = frac{a_1+a_{12}}{2}cdot 12=frac{a_1+a_1+11cdot 2} {2}cdot 12 = (a_1+11)cdot 12[/latex] Skąd [latex]\ (a_1+11)cdot 12 = 192 \ a_1 + 11 = 16\ a_1 = 5[/latex]