Dla jakich wartości parametru m równanie x4+(1−2m)x2+m+112=0 jest sprzeczne ?

Zacznijmy od podstawienia t, aby równanie było kwadratowe. [latex]x^4+(1-2m)x^2+m+112=0 t=x^2, t geq 0 t^2+(1-2m)t+m+112=0[/latex] I przypadek: Równanie jest sprzeczne wtedy, kiedy nie ma rozwiązań. A równanie kwadratowe nie ma rozwiązań wtedy, kiedy delta jest mniejsza od zera ;) [latex]Delta extgreater 0 [/latex] [latex]Delta=(1-2m)^2-4*1*(m+112) Delta=1-4m+4m^2-4m-448=4m^2-8m-447 Delta extgreater 0 4m^2-8m-447 extgreater 0[/latex] Aby rozwiązać tę nierówność należy policzyć kolejną deltę: [latex]Delta_m= (-8)^2-4*4*(-447)=7216 [/latex] Oraz miejsca zerowe: [latex]m_1=frac{8-sqrt{7216}}{8}=frac{8-4sqrt{451}}{8}=frac{4(2-sqrt{451})}{8}=frac{2-sqrt{451}}{2} m_2=frac{2+sqrt{451}}{2}[/latex] Należy teraz narysować parabolę (patrz załącznik) i zaznaczyć część poniżej osi (ponieważ przy nierówności był znak < 0) Rozwiązaniem jest więc: [latex]mepsilon(frac{2-sqrt{451}}{2},frac{2+sqrt{451}}{2} )[/latex] II przypadek: Jest jeszcze taka opcja, że delta będzie równa zeru, ale rozwiązanie t będzie ujemne: [latex]Delta=0 4m^2-8m-447=0 Delta_m=7216 m_1=frac{2-sqrt{451}}{2} m_2=frac{2+sqrt{451}}{2}[/latex] Wówczas t: [latex]t_1=frac{-1+frac{2+sqrt{451}}{2}}{2}=frac{-1+1+frac{sqrt{451}}{2}}{2}=frac{sqrt{451}}{4}>0  t_2=frac{-sqrt{451}}{4}<0 [/latex] t2<0, więc odpowiedź to tylko: [latex]m=frac{2-sqrt{451}}{2}[/latex] Podsumowując: [latex]mepsilon

[latex](^*)qquad x^4+(1-2m)x^2+m+112=0[/latex] Jeśli podstawimy  x² = t  otrzymamy równanie kwadratowe: [latex](^{**})qquad t^2+(1-2m)t+m+112=0[/latex] Równanie (*) jest sprzeczne w dwóch przypadkach: 1°   jeśli równanie (**) jest sprzeczne (Δ<0) 2°   jeśli wszystkie rozwiązania równania (**) dla Δ≥0 są ujemne, czyli:     a)°  [latex]Delta =0quadwedgequad t extless 0[/latex]    b)°  [latex]Delta>0quadwedgequad t_1cdot t_2 extgreater 0 quadwedge quad t_1+t_2 extless 0[/latex]. [latex]t^2+(1-2m)t+m+112=0\\ Delta=(1-2m)^2-4cdot1cdot(m+112)=1-4m+4m^2-4m-448\\ 1^o\Delta extless 0quadiffquad4m^2-8m-447 extless 0\\ Delta_m=64+16cdot447=7216=4sqrt{451}\\ m_1=frac{8-4sqrt{451}}8=frac{2-sqrt{451}}2approx-9,62\\ m_2=frac{8+4sqrt{451}}8=frac{2+sqrt{451}}2 approx11,62\\ oxed{Delta extless 0iff min(frac{2-sqrt{451}}2 ; frac{2+sqrt{451}}2)}[/latex] [latex]2^o\a)^o Delta=0quadiffquad m=frac{2-sqrt{451}}2quad veequad m=frac{2+sqrt{451}}2\\t=frac{-b}{2a}=frac{2m-1}{2}\\ frac{2m-1}{2} extless 0quadiffquad m extless frac12\\ oxed{m=4-2sqrt{451}}\\b)^o Delta extgreater 0 iff min(-infty ; 4-2sqrt{451} )cup ( 4+2sqrt{451} ; infty)\\t_1cdot t_2=frac ca=frac{m+112}{1}=m+112\\m+112 extgreater 0quadimpliesquad m extgreater -112\\ t_1+t_2=frac{-b}{a}=frac{2m-1}{1}=2m-1\\ 2m-1 extless 0 quadimpliesquad m extless frac12[/latex] [latex]egin{cases}min(-infty ; frac{2-sqrt{451}}2 )cup ( frac{2+sqrt{451}}2 ; infty)\m extgreater -112 \m extless frac12 end{cases} implies\\\ implies oxed{minleft(-112 ; frac{2-sqrt{451}}2 ight)}[/latex] Łącząc oba przypadki otrzymujemy, że równanie: [latex]x^4+(1-2m)x^2+m+112=0[/latex]  jest sprzeczne dla:   [latex] minminleft(frac{2-sqrt{451}}2 ; frac{2+sqrt{451}}2 ight)cup{frac{2-sqrt{451}}2} cupleft(-112 ; frac{2-sqrt{451}}2 ight) implies\\ implies oxed{minleft(-112 ; frac{2+sqrt{451}}2 ight)}[/latex]