Sposób 1 "na chłopski rozum" Wartości funkcji sinus i kosinus zawierają się w granicach <-1,1> Największą wartość, iloczyn tychże funkcji osiągnie wtedy, gdy są one sobie równe. Równą wartość mają dla kata π/4 ( 45°). sin (π/4) · cos (π/4) = √2/2 · √2/2 = 2/4= 1/2 Dla dowolnego innego kąta wartość tego iloczynu będzie mniejsza. Sposób 2. " korzystanie z tożsamości trygonometrycznych" Wiedząc, że [latex]sin(2alpha) = 2cdot sin(alpha) cdot cos(alpha)[/latex] [latex]sin(alpha) cdot cos(alpha) =frac 12 sin(2alpha) [/latex] Wiedząc, że: [latex](-1) leq sin(x) leq 1[/latex] [latex]-frac 12 leq (sin(alpha) cdot cos(alpha)) leq frac12[/latex] Co jest dowodem na prawdziwość przedstawionej nierówności. Sposób 3. "analiza funkcji" Niech f(α)= sin (α) cos (α) f(α) osiągnie ekstremum wtedy gdy pochodna f(α)=0 [latex]frac {d}{dalpha} ( sinalpha cos alpha) = frac {d}{dalpha} ( sinalpha ) cdot cos alpha + frac {d}{dalpha} ( cosalpha ) cdot sin alpha=\\ =cosalpha cdot cosalpha + (-sinalpha)cdot sin alpha= cos^2alpha - sin^2 alpha=cos(2alpha)[/latex] Sprawdźmy dla jakiego kąta obliczona pochodna jest równa zeru. [latex]cos(2alpha) =0\\ 2alpha = frac{pi}{2} +npi nin old N\\ alpha = frac{pi}{4} +frac{npi}{2} nin old N [/latex] Wartość f(α) osiągnie największą wartość, wtedy gdy kąt będzie leżał w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, wtedy sin(α) > 0 i cos(α) > 0 [latex]sin(frac{pi}{4}) cos(frac{pi}{4}) = frac{sqrt 2}{2} cdot frac{sqrt 2}{2} =frac 42=frac12[/latex] Największa wartość sin (α) cos (α) to 1/2, co jest dowodem wystarczającym dla udowodnienia prawdziwości przedstawionej nierówności.
