Wykaz,ze dla dowolnych róznych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierównosc: a+b/2 <[latex] sqrt{ frac{ a^{2}+ b^{2} }{2} } [/latex]

[latex]dfrac{a+b}{2} extless sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}\ left(dfrac{a+b}{2} ight)^2 extless dfrac{a^2+b^2}{2}\ dfrac{a^2+2ab+b^2}{4} extless dfrac{a^2+b^2}{2}\ dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-dfrac{a^2+b^2}{2} extless 0\ dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-dfrac{2a^2+2b^2}{4} extless 0\ dfrac{-a^2+2ab-b^2}{4} extless 0\ dfrac{a^2-2ab+b^2}{4} extgreater 0\ dfrac{(a-b)^2}{4} extgreater 0 [/latex] Licznik będzie zawsze dodatni, zatem cały ułamek też będzie dodatni.