oblicz całkę (rozwiązanie krok po kroku) [latex] intlimits^6_2 { frac{x}{ x^{2} +4x-5} } , dx [/latex]

Pierwszy krok to zamiana naszego ułamka na ułamki proste: [latex] frac{x}{x^2+4x-5}= frac{x}{(x-1)(x+5)}= frac{A}{(x-1)} + frac{B}{(x+5)} [/latex] Z tego otrzymujemy układ równań: [latex] frac{A}{(x-1)} + frac{B}{(x+5)} = frac{x}{(x-1)(x+5)} \ A(x+5)+B(x-1)=x\ (A+B)x+5A-B=x[/latex] Mamy wielomian = wielomian. Jeżeli są równe, to mają takie same współczynniki. Zatem otrzymujemy: [latex]A= frac{1}{6} \ \ B=frac{5}{6}[/latex] Podstawiamy wyliczone A i B, po czym otrzymamy to wyrażenie rozłożone na ułamki proste. Czyli będziemy liczyć całkę z takiego wyrażenia: [latex] intlimits^6_2 {( frac{1}{6(x-1)} + frac{5}{6(x+5)} } ), dx =[ frac{1}{6}log(x-1)]_2^6 + [ frac{5}{6}log(x+5)]_2^6=...[/latex] I tu wystarczy już tylko podstawić. Zapis: [latex][f(x)]_a^b[/latex] oznacza [latex]f(b)-f(a)[/latex] (czyli po prostu wyrażenie w granicach...).