dane: α = 60 st. β = 45 st. v0 = 10 m/s szukane: d = ? (odległość między wierzchołkiem skarpy a punktem, w którym wyląduje kamień) w chwili t = 0: składowe prędkości v0x = v0 * sinα v0y = v0 * cosα połozenie kamienia: x = 0 y = h (wysokość skarpy; nieznana, ale - jak się okaze - jej dokładna wartość jest niepotrzebna) załozenie: skarpa się nie kończy, tzn. dla wszystkich punktów x > 0 (na prawo od wierzchołka skarpy) mamy: y = - (tgβ) * x + h (*) [gdyby skarpa miała określony koniec, tj. gdybyśmy dla x większych od jakiejś określonej wartości (nazwijmy ją a) mieli stałe y, to trzeba by nieco zmodyfikować końcową dyskusję; ale metoda będzie zasadniczo taka sama] wyznaczymy teraz trajektorię ruchu kamienia (tj. zalezność między współrzędnymi jego połozenia y = f(x)) dla rzutu ukośnego w polu grawitacyjnym blisko powierzchni ziemi w chwili t mamy: x = v0x * t (**) y = h + v0y *t - 0,5 * g * t² (***) [minus w trzecim składniku, bo przyspieszenie ziemskie ma zwrot przeciwny do zwrotu prędkości początkowej v0] z równania (**) wyznaczamy czas t: t = x / v0x podstawiamy ten wynik do (***): y = h + (v0y / v0x) * x - 0,5 * (g / v0x²) * x² czyli równanie trajektorii ruchu kamienia ma postać: y = h + (tgα) * x - (g / (2 * v0² * sin²α)) * x² połozenie punktu, w którym kamień zetknie się z ziemią, wyznaczamy jako punkt przecięcia się prostej (*) i otrzymanej trajektorii: - (tgβ) * x + h = h + (tgα) * x - (g / (2 * v0² * sin²α)) * x² po przekształceniach mamy: (g / (2 * v0² * sin²α)) * x² - (tgβ + tgα) * x = 0 równanie to ma dwa miejsca zerowe x0 = 0 [tu kamień wyrzucono] i x1 = [(2 * v0² * sin²α) * (tgβ + tgα)] / g [tu kamień dotknie ziemi] aby znaleźć odległość między punktami (0, h) i (x1, y1), podstawiamy x1; do równania (*): y1 = - (tgβ) * x1 + h odległość: d = √[(x1-0)² + (y1-h)²] d = √(x1² + tg²β * x1²) d = x1 * √(1 + tg²β) = x1 / cosβ stąd: d = [(2 * v0² * sin²α) * (tgβ + tgα)] / (g * cosβ) d = 59,08 = 59 m poniewaz jest to dość duza wartość jak na odległość wzdłuz skarpy, trzeba by raczej szukać rozwiązania tam, gdzie skarpa się juz skończyła, tj. dla x > a wtedy przyrównujemy trajektorię do równania y = 0 (wysokość podnóza skarpy): 0 = h + (tgα) * x - (g / (2 * v0² * sin²α)) * x² jednak, aby rozwiązać to równanie i znaleźć punkt zetknięcia się kamienia z ziemią "na płaskim", trzeba by znać wysokość h...
α = 60 st β = 45 st v0 = 10 m/s s=? (odległość) y = - (tgβ) * x + h (*) x = v0x * t /v0x (przekształcasz) t = x / v0x y = h + v0y *t - 0,5 * g * t^2 y = h + (v0y / v0x) * x - 0,5 * (g / v0x^2) * x^2 y = h + (tgα) * x - (g / (2 * v0² * sin^2α)) * x^2 (tgβ) * x + h = h + (tgα) * x - (g / (2 * v0^2 * sin^2α)) * x^2 (g / (2 * v0^2 * sin^2α)) * x^2 - (tgβ + tgα) * x = 0 ... Tyle wiem... Chyba nie wymyślę już nic więcej ;) ("^2" to inaczej potęga. Przepraszam, że nie pisałam "normalnie" ale mi okno ze znakami specjalnymi nie chce się włączyć.) Mam nadzieję, że choć trochę pomogłam.
