Wykaż, że liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x⁴-7x³+17x²-16x+4 Dla jakich wartości a i b 3 i -1 sa pierwiastkami wielomianu x³+ax²+bx-3? Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

1) podzielmy wielomian (oznaczmy Q(x) )przez (x-2) Q (x) / (x-2) = (x⁴-7x³+17x²-16x+4) / (x-2) = x³ - 5x² + 7x -2 wynik podzielmy jeszcze raz: (x³ - 5x² +7x -2) / (x-2) = x² -3x +1 a więc wielomian Q (x) = x⁴-7x³+17x²-16x+4 = (x² -3x +1) (x - 2)² co oznacza ze 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem 2) P(x) = x³+ax²+bx-3 P (3) = 0 i P(-1) = 0 3³ +a*3² + b*3 -3 = 0 (-1)³ +a*(-1)² + b*(-1) -3 = 0 27 +9a + 3b -3 = 0 -1 + a -b -3 = 0 27 +9a + 3b -3 = 0 a = b + 4 podstawiamy za a 27 +9(b + 4) + 3b -3 = 0 27 + 9b + 36 +3b -3 = 0 60 + 12b = 0 12b = -60 b = -5 a = b + 4 = -5 +4 = -1 a = -1 b = -5 więc P(x) = P(x) = x³ -x² -5x-3 podzielmy przez (x+1) i (x-3) ( x³ -x² -5x-3 ) / (x+1) = x² -2x -3 (x² -2x -3 ) / (x -3) = x+1 P(x) = (x+1) (x-3) (x+1) wiec -1 jest dwukotnym pierwiastkiem