Wiemy, że szukane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli są postać: a− r,a,a + r . W dodatku znamy ich sumę 18 = a− r+ a + a + r = 3a ⇒ a = 6. Zatem szukane liczby są postaci 6− r,6,6+ r . Nie wiemy, która z tych liczb jest największa, więc musimy rozważyć dwa przypadki. Jeżeli 6+ r jest największą liczbą, to wiemy, że 6 − r,6,14 + r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli 36 = (6− r)(14+ r) 2 36 = 84 − 8r− r = 0 2 r + 8r − 48 = 0 1-2 2r + 4r− 24 = 0 Δ = 16 + 48 = 64 r = 4 ∨ r = − 12. Ponieważ założyliśmy, że 6 + r jest największą z danych liczb, więc mamy r = 4 , czyli ciąg (2,6,10) . Jeżeli 6− r jest największą liczbą, to wiemy, że 14 − r,6,6 + r są kolejnymi wyrazmai ciągu geometrycznego, czyli 36 = (14 − r)(6+ r) 36 = 84 + 8r− r2 = 0 2 r − 8r − 48 = 0 1-2 2r − 4r− 24 = 0 Δ = 16 + 48 = 64 r = 1 2 ∨ r = − 4. Ponieważ założyliśmy, że 6 − r jest największą z danych liczb, więc mamy r = − 4 , czyli ciąg (10,6,2) .
x, y, z - kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego x + y + z = 18 y = x + r z = x + 2r x + x + r + x + 2r = 18 3x + 3r = 18 /:3 x + r = 6 y = 6 x = 6 - r z = 6 + r x, 6, z + 8 - kolejne wyrazy ciągu geometrycznego 6² = x * (z + 8) 36 = (6 - r) (6 + r + 8) 36 = (6 - r) (14 + r) 36 = 84 + 6r - 14r - r² r² + 8r - 48 = 0 Δ = 64 + 192 Δ = 256 √Δ = 16 r₁ = (-8 - 16)/2 r₁ = - 12 r₂ = (-8 + 16)/2 r₂= 4 ale biorąc pod uwagę założenie, że z jest największym wyrazem ciągu otrzymujemy r = 4 i ciąg: 2,6,10 Analogicznie rozwiązując przy założeniu, że x jest największym wyrazem ciągu otrzymamy 36 = (14 - r) (6 + r) 36 = 84 - 6r + 14r - r² r²- 8r -48 = 0 r₁ = -4 r₂ = 12 i otrzymujemy ciąg: 10, 6, 2
