Udowodnij że liczbe pierwiastek z 2 jest wymierna.

Otoz dowod : zalozmy ze sqrt(2) jest liczba wymierna. Zatem da sie ja przedstawic w postaci ulamka nieskracalnego p/q. gdzie NWD(p,q)=1 i p,q naleza do calkowitych sqrt(2)=p/q /do kwadratu 2*q^2=p^2 aby obie te strony bylyrowe to p musi byc podzielne przez 2. Zatem p^2 jest podzielne prze 2^2 czyli p jest posatci p=2*k 2*q^2=2^2*k^2 /:2 q^2=2*k^2 tu dochodzimy do sprzecznosci z zalozeniem NWD gdyz lewa strona nie jest podzielna przez dwa a prawa jest. Czyli ta liczba jest niewymierna ^^

Postaram się wyjaśnić bardziej przejrzyście: Każdą liczbę wymierną zapisać możemy w postaci p/q, gdzie p i q ∈ C q ≠ 0 Załóżmy więc, że √2 jest wymierny, można zapisać go zatem w postaci podanej wyżej: √2=p/q Obie strony mnożymy przez q √2*q=p Obie strony podnosimy do kwadratu 2q²=p² Czyli 2*q*q=p*p W lewej stronie przy rozkładzie na czynniki pierwsze ZAWSZE otrzymamy nieparzystą liczbę 2 W prawej stronie przy rozkładzie na czynniki pierwsze ZAWSZE otrzymamy parzystą liczbę 2 Co uświadamia nam, że równość nie zajdzie nigdy, bo L ≠ P Czyli √2 ∈ NW