w trojkat rownoboczny wpisano okrag a w ten okrag wpisano kolejny trojkat rownoboczny a w ten trojkat znowu wpisano okrag .Ile razy promien mniejszego okregu jest mniejszy od promienia wiekszego okregu ? CZekam na madra odpowiedz poparta obliczeniami ]

Niech a₁ będzie długością boku trójkąta równobocznego. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość: r₁ = ⅓h₁ gdzie h jest wysokością trójkąta równobocznego. h obliczamy ze wzoru: h = (a√3)/2 i wstawiamy do wzoru na promień okręgu wpisanego: r₁ = ⅓(a₁√3)/2 r₁ = ⅙a₁√3 Teraz wpisujemy trójkąt równoboczny w okrąg o promieniu r₁. Zatem nasz okrąg o promieniu r₁ będzie okręgiem opisanym dla nowego trójkąta równobocznego o boku a₂. Wzór na promień okręgu opisanego: R = ⅔h tu R = r₁, a h = h₂ - wysokość mniejszego z trójkątów, tego o boku a₂. Zatem otrzymujemy: ⅙a₁√3 = ⅔(a₂√3)/2 /*3, :√3 ½a₁ = a₂ Liczymy promień okręgu wpisanego w mniejszy trójkąt (ten o boku a₂): r₂ = ⅙a₂√3 ponieważ a₂ = ½a₁ Stąd r₂ = ⅙*½a₁√3 r₂ = ½r₁ Stąd widać, że promień mniejszego okręgu jest dwa razy mniejszy od promienia większego okręgu.