Kąty trójkąta mają miary 60 stopni, 45 stopni i 75 stopni, a najkrótszy bok ma długość 6 cm. Oblicz pole tego trójkąta. WSKAZÓWKA: Najkrótszy bok trójkąta leży zawsze naprzeciwko kąta o najmniejszej mierze. Proszę o szybką odpowiedź. Pozdrawiam :)

Narysuj sobie trójkąt ABC. Niech długość boku AC będzie 6 cm. Wtedy kąt ABC będzie miał miarę 45°. Niech kąt CAB = 60°. Rysujesz wysokość z wierzchołka C do boku AB (oznacz wysokość CD). Wysokość ta dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty prostokątne. Trójkąt ADC jest trójkątem o kątach 30°,60° i 90° . Trójkąt ten ma pewne własności: jeśli przyprostokątna leżąca przy kącie 60° ma długość a, to przeciwprostokątna ma długość 2a a druga przyprostokątna ma długość a√3. U nas /AC/ = 2a, stąd /AD/ = a i /CD/ = a√3 /AC/ = 6 2a = 6 /:2 a = 3 Stąd: /AD/ = 3 /CD/ = 3√3 Teraz rozpatrzmy trójkąt BDC. Jest to trójkąt prostokątny równoramienny (kąt ABC = DBC = 45°, zatem kąt DCB = 45°). Czyli /DB/ = /CD/ = 3√3 /AB/ = /AD/ + /DB/ /AB/ = 3 + 3√3 /AB/ = 3(1 + √3) P = ½ * /AB/*/CD/ P = ½*3(1 + √3)*3√3 P = (9/2)*(3 + √3) Odp. Pole trójkąta wynosi P = (9/2)*(3 + √3)cm² ≈ 21,29 cm²