Wskaż że liczba -1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)= x^4- 2x^3 - 2x^2+ 6x+5 ^ - potęga np ^5

W(x)= x^4- 2x^3 - 2x^2+ 6x+5 W(x) = x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 Jeśli x = -1 jest pierwiastkiem W(x) to wielomian W(x) jest podzielny przez jednomian x+1 ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) :(x+1) = (x³ -3x² +x +5) -x⁴ -x³ ----------- = -3x³- 2x² +6x +5 +3x³ +3x² ------------------- = x² +6x +5 -x² -x ----------- = 5x + 5 - 5x - 5 ---------- = = Wobec tego wielomian W(x ) można zapisać; ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = (x+1) * (x³ -3x² +x +5) Dzielę wielomian (x³ -3x² +x +5) przez (x +1) (x³ -3x² +x +5) : (x +1) = x² -4x +5 -x³ -x² ----------- = - 4x² +x +5 +4x² +4x ------------ = 5x +5 -5x - 5 ------------- = = Wobec powyższego wielomian można zapisać w postaci iloczynowej ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = (x+1) *( x +1)* (x² -4x +5 ) Jak z tego wynika po przyrownaniu W(x) =0 otrzymamy pierwiastki wielomianu x+1 = 0 lub x +1 = 0 x = -1 lub x = -1 Wynika z tego ze x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x) Można też wykonać dowód inaczej Jeśli x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny bez reszty przez (x+1)² ( x +1)² = x² +2x +1 ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) : ( x² +2x +1) = x² -4x +5 -x⁴ -2x³ -x² ----------------- = -4x³ -3x² +6x +5 +4x³ +8x²+4x ----------------- = 5x² +10x +5 -5 x² -10x -5 ------------------ = = = W(x) = ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = ( x² +2x +1) ( x² -4x +5) inaczej W(x) = ( x⁴ -2x³ -2x² +6x +5 ) = ( x +1)²* ( x² -4x +5) W(x) jest podzielne przez (x +1)² to x = -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W(x)