Zbadaj monotonicznosc cigów a_n=n^2+3n an = n² +3n Zbadac monotoniczność ciągu tzn. zbadać czy on jest rosnący czy majejący. Bada się wyraz następny czyli a(n+1) wstawiając (n+1) w miejsce n a(n+1) = (n+1)² +3(n +1) Teraz korzystamy z definicji ciągu Ciag jest rosnący, gdy różnica a(n+1) - an jest dodatnia , a ciag jest malejacy gdy ta różnica jest ujemna a(n+1) -an = [(n+1)² +3(n+1)] - ( n² +3n) a(n+1) -an = [ n² +2n +1 + 3n +3] -n² -3n a(n+1) -an = n² +5n +4 -n² -3n a(n+1) -an = 2n +4 ( różnica jest dodatnia ) 2n +4 jest zawsze dodatnie , bo n jest liczbą naturalną, zatem ciąg jest rosnacy a_n=n^2-5n an = n² -5n a(n+1) = (n+1)² -5(n+1)= n² +2n +1 -5n -5 = n² -3n -4 a(n+1) - an =( n² -3n -4) - (n² -5n) a(n+1) - an = n² -3n -4 - n² + 5n a(n+1) - an = 2n -4 dla n > 2, 2n -4 ciąg an jest rosnący dla n =1 ciag an jest malejący an=(2n+3)/(n+1) a(n+1) = [2(n+1) +3] : (n+1 +1)= (2n +2 +3) : (n +2)= (2n +5) : (n+2) a(n+1) - an = [(2n +5) : (n+2)] - (2n+3):(n+1) sprowadzam do wspólnego mianownika wspolny mianownik to (n+2)*(n+1) a(n+1) - an =[(2n +5)*(n+1) -(2n+3)*(n+2)] : [(n+2)(n+1)] a(n+1) - an = [2n² +2n +5n +5 -(2n²+4n +3n +6] :[(n+2)(n+1)] a(n+1) - an = [2n² +7n +5 - 2n² -7n-6] :[(n+2)(n+1)] a(n+1) - an = [ -1 ] : [(n+2)(n+1)] Otrzymany iloraz jest ujemny , ponieważ (-1) jest ujemne oraz n jest liczba naturalną ( dodatnią), zatem mianownik (n+2)(n+1) jest większy od zera Zatem jeśli podzielimy licznik ujemny przez mianownik dodatni to otrzymamy liczbę ujemną, więc ciąg an jest malejący
