dla jakich wartości parametru m pierwiastki x (jeden), x(dwa), x ( trzy) równania x(do potęgi)3 - 3x(do potęgi)2 - 6x + m =0 spełniają warunki: x(dwa) = x(jeden) * q , x(trzy) = x(jeden) * q (do potęgi)2 ? wyznacz te pierwsiatki

Funkcja ma trzy pierwiastki więc można ją zapisać w postaci: a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=0 ale a=1, więc pozostaje (x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=0 Otrzymujemy: x³-x₁x²-x₂x²-x₃x²+x₁x₂x+x₂x₃x+x₁x₃x-x₁x₂x₃=0 z tego mamy wzory Vietea dla wielomianu stopnia trzeciego: -x₁-x₂-x₃=-3 +x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃=-6 -x₁x₂x₃=m x₁+qx₁+q²x₁=3 qx₁²+q³x₁²+q²x₁²=-6 m=-q³x₁³ (1+q+q²)x₁=3 qx₁²(1+q+q²)=-6 (1+q+q²)=3/x₁ qx₁²(3/x₁)=-6 3qx₁=-6 qx₁=-2 m=-q³x₁³ m=-(qx₁)³ m=-(-2)³=8 q=-2/x₁ Wstawiamy to np. tutaj: x₁+qx₁+q²x₁=3 x₁+(-2/x₁)x₁+(-2/x₁)²x₁=3 Po paru działaniach otrzymujemy: x₁²-5x₁+4=0 Δ=25-4*1*4=9 √Δ=3 Otrzymujemy dwa pierwiastki, gdyż wyrazy ciągu geometrycznego możemy liczyć od jednej lub drugiej strony wtedy iloraz będzie odwrotny, dlatego drugi pierwiastek oznaczę przez x₃ x₁=1 x₃=4 q=-2/1=-2, więc x₂=-2 Odp: m=8 x₁=1 x₂=-2 x₃=4 Trochę męczące zadanie jak na 3 punkty, więc mam nadzieję, że dostanę "najlepsze rozwiązanie"