D - długość przekątnej przekroju osiowego walca α - kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny podstawy Dla walca o promieniu podstawy r i wysokości H przekrój osiowy jest prostokątem o bokach długości: 2r i H (patrz załącznik) Pole całkowita walca wyraża się wzorem: [latex]P_c = 2pi r^2 + 2pi rH[/latex] D = 40 cm a) [latex]left.egin{array}{l} sin alpha = frac{sqrt{3}}{2} \\ sin alpha = frac{H}{D} end{array} ight} Rightarrow frac{sqrt{3}}{2}=frac{H}{D} \\ frac{sqrt{3}}{2}=frac{H}{40} \\ 2H = 40sqrt{3} /:2 \\ H = 20sqrt{3} cm[/latex] Korzystamy z tw. Pitagorasa: [latex]H^2 + (2r)^2 = D^2 \\ (20sqrt{3})^2 + 4r^2 = 40^2 \\ 1200+ 4r^2 = 1600 \\ 4r^2 = 1600 - 1200 \\ 4r^2 = 400 :4 \\ r^2 = 100 \\ r = 10 cm[/latex] [latex]P_c = 2pi r^2 + 2pi rH \\ P_c = 2pi cdot 10^2 + 2pi cdot 10 cdot 20sqrt{3} = 2pi cdot 100 + 400pi sqrt{3} = 200pi + \\ + 400pi sqrt{3} cm^2[/latex] Odp. [latex]P_c=200pi + 400pi sqrt{3} cm^2[/latex] b) [latex]left.egin{array}{l} cos alpha =0,8 \\ cos alpha = frac{2r}{D} end{array} ight} Rightarrow frac{2r}{D}=0,8 \\ frac{2r}{40}=0,8 \\ frac{r}{20}=0,8 / cdot 20 \\ r = 16 cm[/latex] Korzystamy z tw. Pitagorasa: [latex]H^2 + (2r)^2 = D^2 \\ H^2 + 4 cdot 16^2 = 40^2 \\ H^2+ 4 cdot 256 = 1600 \\ H^2 + 1024 = 1600 \\ H^2 = 1600-1024\\ H^2 = 576 \\ H = 24 cm[/latex] [latex]P_c = 2pi r^2 + 2pi rH \\ P_c = 2pi cdot 16^2 + 2pi cdot 16 cdot 24 = 2pi cdot 256 + 2pi cdot 384= 512pi + 768pi = \\ = 1280 cm^2[/latex] Odp. [latex]P_c=1280 cm^2[/latex] c) [latex]left.egin{array}{l} tg alpha = frac{4}{3} \\ tg alpha = frac{H}{2r} end{array} ight} Rightarrow frac{H}{2r}= frac{4}{3} \\ frac{H}{2r}= frac{4}{3} \\ 3H = 8r /:3 \\ H = frac{8}{3} cdot r[/latex] Korzystamy z tw. Pitagorasa: [latex]H^2 + (2r)^2 = D^2 \\ (frac{8}{3} cdot r)^2 + 4r^2 = 40^2 \\ frac{64}{9} cdot r^2+ 4r^2= 1600 \\ frac{64}{9}r^2+ frac{36}{9} r^2= 1600 \\ frac{100}{9} r^2= 1600 /:frac{100}{9}\\ r^2 = 1600 cdot frac{9}{100} \\ r^2 = 144 \\ r = 12 cm \\ H = frac{8}{3} cdot r = frac{8}{3} cdot 12 = 32 cm [/latex] [latex]P_c = 2pi r^2 + 2pi rH \\ P_c = 2pi cdot 12^2 + 2pi cdot 12 cdot 32 = 2pi cdot 144 + 2pi cdot 384= 288pi + 768pi = \\ = 1056 cm^2[/latex] Odp. [latex]P_c=1056 cm^2[/latex]
