Wykaż że liczba pod pierwiastkiem 66+16√2 + pod pierwiastkiem 66−16√2 jest liczbą wymierną

Oznaczmy: pierwiastek z pewnej liczby x jako sqrt(x) Mamy pokazać, że wymierna jest liczba: X = sqrt(66+16sqrt(2)) + sqrt(66-16sqrt(2)) Oczywiście x>0, bo x jest sumą pierwiastków Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia: (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b i mamy: X^2 = 66 + 16sqrt(2) + 66 - 16sqrt(2) + 2 * sqrt((66+16sqrt(2))) * sqrt((66-16sqrt(2)) = = 132 + 2 * sqrt((66+16sqrt(2)) * (66-16sqrt(2)) = ... i teraz z kolejnego wzoru skróconego mnożenia: (a+b) * (a-b) = a^2 - b^2 ... = 132 + 2 * sqrt(66^2 - (16sqrt(2))^2 )= = 132 + 2 * sqrt(4356 - 16*16*2) = 132 + 2 * sqrt(4356 - 512) = 132 + 2 * sqrt(3844) = 132 + 2 * 62 = 132 + 124 = 256 = 16 * 16 Zatem X^2 = 16*16 czyli x=16 lub x=-16, ale wiemy, ze x>0, czyli x=16, co oczywiście jest liczbą wymierną

a=66+16√2 b=66−16√2 √a+√b=x |² a+2√ab+b=x² - wzór na kwadrat sumy 66+16√2+2√(66+16√2)(66-16√2)+66-16√2=x² 132+2√(4356-512)=x² - wzór na różnicę kwadratów 132+2*62=x² 132+124=x² x²=256 |x|=16 x=16, 16 jest liczbą wymierną

liczba= 66+16√2 b = 66−16√2 a= 66+16√2 b = 66−16√2 √a+√b=x |² a+2√axb+b=x² 66+16√2+2√x(66+16√2)x(66-16√2)+66-16√2=x² 66+16√2+2√(66+16√2)(66-16√2)+66-16√2=x² 132+2√(4356-512)=x² 132+2*62 = x² 132+124=x² x²=256 |x|=16 ta liczba jest wymierna Pozzostałe odpowiedzi są poprawne:)