Zad.5
d)
2^x < 3^x /:(2^x)
1 <(³/₂)^x
(³/₂)° < (³/₂)^x
00
e)
(0,1)^x > 10^x
(¹/₁₀)^x >10^x
(10⁻¹)^x >10^x
-x>x
0>x+x
0>2x /:2
0>x
x<0
f)
(√2)^x ≥ (½)^x
(2^¹/²)^x ≥ (2⁻¹)^x
2^¹/²x ≥ 2^⁻x
½x ≥ -x
½x+x ≥0
³/₂ x ≥0 /*⅔
x ≥0
Zad.6
d)
(0,04)^(⁻x²+5x-8) <625
(⁴/₁₀₀ )^(⁻x²+5x-8) <25²
[(¹⁰⁰/₄ )⁻¹]^(⁻x²+5x-8) <25²
25^(x²-5x+8) <25²
x²-5x+8<2
x²-5x+8-2<0
x²-5x+6<0
Δ=25-24=1
√Δ=1
x=(5-1)/2=4/2=2
x=(5+1)/2=6/2=3
x∈(2;3)
e)
5^(2x+1) > 5^x +4
5^2x *5¹ - 5^x - 4>0
niech 5^x=t t>0
5t² -t -4>0
Δ=1-4*5*(-4)=1+80=81
√Δ=9
t₁=(1+9)/10=10/10=1
t₂=(1-9)/10=-8/10=-4/5
t∈(-∞; -4/5) U (1;+∞)
ale t>0
więc
t>1
5^x>1
5^x>5^0
x>0
e)
2^(2+x) -2^(2-x) <15
2² *2^x < 2^(2-x) +15
4*2^x < 2² :2^x +15
4*2^x <4/2^x +15
Niech 2^x=t t>0
4t<4/t +15 /*t bo t>0
4t² < 4 +15t
4t² -15t-4 <0
Δ=225-4*4*(-4)=225+64=289
√Δ=17
t=(15-17)/8=-2/8=-1/4
t=(15+17)/8=32/8=4
t∈(-1/4 ; 4)
ale t>0
więc
t∈(0;4)
2^x>0
x>log₂0
2^x<4
2^x<2^2
x<2
x∈(log₂0 ; 2)
