OBLICZ DLUGOSC BOKOW TROJKATA PROSTOKATNEGO, KTOREGO OBWOD WYNOSI 36cm, WIEDZAC ZE TWORZA ONE CIAG ARYTMETYCZNY..

Wiemy, że boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. a₁ = a a₂ = a + r = b a₃ = a + 2r = c =========================================================== Skoro obwód tego trójkąta wynosi 36cm, to możemy zapisać następujące równanie: a + b + c = 36cm Do tego równania możemy podstawić zależności wynikające z tego, że boki tworzą ciąg arytmetyczny: a + (a + r) + (a + 2r) = 36cm 3a + 3r = 36cm // :3 a + r = 12cm b = a + r = 12cm =========================================================== Skoro b = 12cm, to uzależnimy długość pozostałych boków od boku b. a = b - r = 12cm - r b = 12 cm c = b + r = 12cm + r =========================================================== Teraz musimy założyć, że ciąg arytmetyczny jest rosnący bądź malejący (nie może być ciągiem stałym, czyli r = 0, bo mielibyśmy trzy boki o długości 12cm, a wtedy nie byłby to trójkąt prostokątny tylko równoboczny). Załóżmy, że jest to ciąg rosnący, czyli że r > 0. Jeśli r > 0, to: a < a +r < a + 2r czyli a < b < c. Wobec tego c jest najdłuższym bokiem tego prostokąta prostokątnego, czyli jego przeciwprostokątną. =========================================================== Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa (suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej): a² + b² = c² Jak już wcześniej zauważyliśmy: a = 12cm - r b = 12cm c = 12cm + r Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy: (12cm - r)² + (12cm)² = (12cm + r)² 144cm² - 24cm×r + r² + 144cm² = 144cm² + 24cm×r + r² 144cm² = 48cm×r // : 48cm r = 3cm Podstawmy wynik do naszych danych: a = 12cm - r = 12cm - 3cm = 9cm b = 12cm c = 12cm + r = 12cm + 3cm = 15cm =========================================================== Odpowiedź: Boki trójkąta mają długość 9cm, 12cm i 15cm. =========================================================== Dodatkowe informacje: Gdybyśmy założyli, że mamy do czynienia z malejącym ciągiem otrzymalibyśmy równanie: c² + b² = a² (bok a byłby przeciwprostokątną) Jego rozwiązanie dałoby nam wynik r = -3cm i w efekcie mielibyśmy: a = 12cm - r = 12cm - (-3cm) = 12cm + 3cm = 15cm b = 12cm c = 12cm + r = 12cm + (-3cm) = 12cm - 3cm = 9cm Długości boków byłyby te same, tylko otrzymane w innej kolejności.