Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej [latex]y=-2 x^{2}+4x-9 [/latex] w przedziale <1;5>

y = - 2x² + 4x - 9 y = - 2 * 1² + 4 * 1 - 9 = - 2 + 4 - 9 =  - 7 y = - 2 * 5² + 4 * 5 - 9 = - 2 * 25 + 20 - 9 = - 50 + 11 =  - 39 - 39 wartość najmniejsza - 7 wartość największa

Witam! Rozwiązanie: Na samym początku możemy spróbować wyznaczyć wartość najwyższą, gdyż patrząc na wzór funkcji można stwierdzić, że jej postać graficzna to parabola skierowana w dół, której wierzchołek zawiera w sobie wartość największą. W takim razie należy obliczyć współrzędne tego punktu. Służą do tego specjalne wzory: [latex]x= frac{-b}{2a}\y= frac{-Delta}{4a} [/latex] Policzmy najpierw współrzędną x: [latex]x= frac{-b}{2a}\x= frac{-4}{2*(-2)}\x= frac{-4}{-4}\x=1 [/latex] A teraz y: [latex]Delta=b^2-4ac\Delta=4^2-4*(-2)*(-9)\Delta=-56\y= frac{-Delta}{4a}\y= frac{-(-56)}{4*(-2)}\ y=-7 [/latex] Zatem nasz szukany punkt to (1, -7), czyli największą wartością jest -7. Współrzędna x została policzona po to, aby sprawdzić czy największa wartość funkcji znajduje się w przedziale podanym w zadaniu (<1;5>). Wiemy, że najmniejsza wartość to f(1) lub f(5) (bo są to krańcowe wartości naszego przedziału). Jednak wiemy już, że dla 1 parabola przyjmuje najwyższą wartość, więc najmniejsza wartość to f(x). Tak więc nie pozostaje nam nic innego jak policzyć wartość funkcji dla parametru 5. [latex]f(5)=-2*5^2+4*5-9\f(5)=-39[/latex] Zatem najmniejszą wartością w omawianym przedziale jest liczba -39. Odpowiedź: Najmniejszą wartością jest -39, zaś największą -7. Pozdrawiam!