f(x)=x⁵/(x²+1) - mam nadzieję, że to ta funkcja choć zapis sugeruje co innego. 1. D=R 2. Miejsca zerowe etc. y=0 wtw x⁵=0 x=0 y(0)=0 3. lim x→-∞ x⁵/(x²+1)=x³/(1+1/x²)=-∞ lim x→+∞ x⁵/(x²+1)=x³/(1+1/x²)=+∞ 4. Funkcja nie ma asymptot 5. y'=[5x⁴(x²+1)-x⁵2x]/(x²+1)²=(5x⁶+5x⁴-2x⁶)/(x²+1)² y'=(3x⁶+5x⁴)/(x²+1)² D'=D y'=0 wtw 3x⁶+5x⁴ x=0 y'>0 wtw 3x⁶+5x⁴, bo mianownik jest zawsze dodatni y'>0 wtw x∈R 6. y''=[(18x⁵+20x³)(x²+1)²-(3x⁶+5x⁴)2(x²+1)2x]/(x²+1)⁴= (x²+1)[(18x⁵+20x³)(x²+1)-(12x⁷+20x⁵)]/(x²+1)⁴= [18x⁷+20x⁵+18x⁵+20x³-12x⁷-20x⁵]/(x²+1)⁴= (6x⁷+18x⁵+20x³)/(x²+1)⁴ y''=0 wtw 6x⁷+18x⁵+20x³=0 x=0 y''>0 wtw 6x⁷+18x⁵+20x³>0 y''>0 wtw x>0 y''<0 wtw x<0 Funkcja jest rosnąca na przedziale R Jest wypukła ku górze dla x∈(-∞,0), a ku dołowi dla x∈(0,∞). Ma w x=0 punkt przegięcia typu "-+" P.S. Pierwsza i druga pochodna zerują się w x=0, teoretycznie, aby zbadać przy użyciu pochodnych czy jest w tym punkcie ekstremum czy punkt przegięcia należy policzyć kolejne pochodne aż dojdzie się do takiej która się nie zeruje. Wtedy dla parzystej pochodnej będziemy mieli ekstremum, a dla nieparzystej punkt przegięcia
